La intuición bajo el concepto de Vecindad en Espacios Topológicos

Question

Tengo la sensación de que yo no agarrar bien el concepto de "Barrio" en espacios topológicos. He leído a través de las definiciones de barrio, espacios abiertos y cerrados. A pesar de eso, echo de menos la utilidad de un concepto. Por ejemplo, en la definición de límite de una secuencia en un espacio topológico: un punto de $x$ del espacio topológico $(X, \tau)$ es el límite de la secuencia de $(x_n)$ si, para cada vecindario $U$$x$, hay un $N$ tal que, para cada $n\geq N$, $x_n$ es en $U$. No veo por qué no podemos elegir para expresar el límite de $(x_n)$ en términos de los barrios de $x$, ¿por qué no un conjunto abierto en $x$?

Yo estaría encantado si alguien aclarar esto por mí, por favor. Gracias!

Answer 1

Considerar el espacio métrico $(X,d)$. Podemos decir $x_n \to x$ $\forall \epsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}$ tal que $d(x_n,x)< \epsilon$ todos los $n >N$ i.e para todos los $\epsilon >0$ usted puede encontrar una $N$ tal que $x_n \in B(x, \epsilon)$.

En general $(X, \tau)$ no ser un espacio métrico. Sin embargo, la definición anterior es equivalente a decir que existe un índice $N$ tal que para todos los $n> N$ tenemos $x_n \in U_x$ donde $U_x \subset \tau$. Aquí $U_x$ es el equivalente de la pelota.

Solo hay que tener en cuenta que para que un espacio métrico, barrios yo.e abierto los conjuntos de epsilon bolas.

Answer 2

Usted realmente no necesita los tres conceptos (abierto, cerrado, y el vecindario); puede que dos de ellos mediante el uso de terceros. Pero tienen diferentes sabores, y son muy útiles para expresar particular nociones sin necesidad de retorta su discurso por la única causa de la utilización de sólo un concepto básico.

Por ejemplo, usted entiende que puede expresar la convergencia, pero utilizando sólo abrir sets. Pero los barrios (definidos como conjuntos que contiene un conjunto abierto alrededor de un punto) tendrá la propiedad de ser cerrado hacia arriba, lo que significa que si $V$ es un barrio de $x$ $W\supseteq V$ $W$ también es. Por ejemplo, cada plaza cerrada es un barrio de su centro. Por lo tanto, usted tiene que, dado cualquier plaza cerrada $S$ centrada en $x$ y una secuencia $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ convergentes a $x$, entonces su cola está incluido en $S$. Esto podría ser de utilidad si el problema no está mejor expresado en los términos de cerrado de plazas.

Por otro lado, los axiomas de un espacio topológico puede ser presentada en una muy buena manera al utilizar bloques abiertos. Un ejemplo de la propiedad, que se expresa mejor por la apertura de los conjuntos de separación: Dos subconjuntos separados si se encuentran en distintos bloques abiertos. (Tenga en cuenta que el concepto de "barrio" es más a menudo seguida de "de un punto", no de los subconjuntos.)