¿Cada registro de la derivada aritmética de los números naturales ocurre en un número práctico?

Question

Consideremos la derivada aritmética de los números naturales, tal como se define aquí .

Según esta definición, para cada número entero $n>1$ con factorización canónica de primos $p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_{\omega(n)}^{a_{\omega(n)}}$ donde $\omega(n)$ es el número de factores primos distintos de $n$ tenemos una derivada aritmética positiva $n'$ tal que $$n'=n\sum_{i=1}^{\omega(n)}\dfrac{a_i}{p_i}$$

Mi pregunta es si la secuencia de $n$ tal que $n'>m'$ para cada $m<n$ consiste únicamente en números prácticos es decir $n=1$ o $n>1$ tal que $p_1=2$ y $$p_i\leq 1+\sigma(p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_{i-1}^{a_{i-1}})$$ para cada $i\in[2,\omega(n)]$ ? Sin embargo, no es cierto que todos los números prácticos pertenezcan a esta secuencia.

Esta desigualdad requiere que un número práctico tenga su factorización ponderada, en cierto sentido, hacia factores primos más pequeños. Se trata de una característica que cabría esperar que presentaran los registros de $n'$ ya que los exponentes grandes sobre primos pequeños son los que más contribuyen a la parte de la suma de $n'$ . He confirmado que el primer $250$ registros sólo se producen cuando $n$ es un número práctico. ¿Podemos determinar si esto es cierto en general? No veo una forma obvia de unir estas piezas.

Edita: A131117 es la secuencia OEIS para los registros de $n'$ y tiene un enlace a la $250$ términos que probé.

Answer 1

Antes de profundizar en las ecuaciones, permítanme observar que al escribir las factorizaciones primos de los registros de derivadas aritméticas veo que tienen potencias de dos muy altas y sólo unos pocos factores adicionales. Dado que las altas potencias de dos significan que para un número práctico hay muchos primos que podrían ser el segundo primo más grande, informalmente parece muy probable que tu conjetura sea cierta.

Lo que sigue no es riguroso y no justificaré formalmente algunas afirmaciones, pero creo que proporciona un marco que podrías ampliar para una demostración más completa.

Considere que cada potencia de dos establecerá un nuevo récord para la derivada aritmética, ya que en $$N' = N \cdot \sum_{p|N} \dfrac{a_i}{p_i}$$ $p_1 = 2$ tiene el mayor valor posible de $\dfrac1{p_i}$ y el mayor $a_i$ en un rango determinado. Para $$N=2^e \implies N'=e \cdot 2^{e-1}$$ Así, cualquier otro registro N en el intervalo $2^e \lt N \lt 2^{e+1}$ debe tener $N' \gt e \cdot 2^{e-1}$ como mínimo.

Para el resto de esta respuesta consideraremos una serie $N=2^a \cdot m$ donde $m$ es cualquier número con sólo factores primos Impares. Para estar en el rango deseado debemos tener $$a=e- \lfloor \log_2 m \rfloor$$ Definiré $\delta_m = \lfloor \log_2 m \rfloor$ por lo que tenemos $$a=e-\delta_m$$ Ahora tenemos $$N' = a \cdot 2^{a-1} \cdot m + 2^a \cdot m' = 2^{a-1} \left(am+2m'\right)$$ Como queremos que N sea un registro, tenemos $$2^{a-1} \left(am+2m'\right) \gt e \cdot 2^{e-1}$$ $$2^{e-\delta_m-1} \left((e-\delta_m)m+2m'\right) \gt e \cdot 2^{e-1}$$ $$(e-\delta_m)m+2m' \gt e \cdot 2^{\delta_m}$$ $$em-\delta_mm+2m' \gt e \cdot 2^{\delta_m}$$ $$-\delta_mm+2m' \gt e (2^{\delta_m} - m)$$ Observando que $2^{\delta_m} \lt m \implies 2^{\delta_m} - m \lt 0$ , $$e \gt \dfrac{-\delta_mm+2m'}{2^{\delta_m} - m}$$ $$e \gt \dfrac{\delta_mm-2m'}{m - 2^{\delta_m}}$$ y así $$a \gt \dfrac{\delta_mm-2m'}{m - 2^{\delta_m}} - \delta_m$$ $$a \gt \dfrac{\delta_m 2^{\delta_m}-2m'}{m - 2^{\delta_m}}$$

Ahora sólo consideraremos cuándo $m$ es un único primo impar, por tanto $m'=1$ . Creo que el siguiente argumento se puede extender para cubrir potencias primos y productos de múltiples primos, y que el caso de un solo primo es el más limitante, pero no lo he hecho formalmente.

La condición para un número práctico es $$m \le \sigma (2^a) + 1 = 2^{a+1}$$ $$\log_2 m \le {a+1}$$ $$\log_2 m \le \dfrac{\delta_m 2^{\delta_m}-2}{m - 2^{\delta_m}} + 1$$ Ahora podemos observar que $m \le 2^{\delta_m + 1} - 1 \implies m-2^{\delta_m} \le 2^{\delta_m}-1$ y podemos sustituir en la desigualdad: $$\log_2 m \le \dfrac{\delta_m 2^{\delta_m}-2}{2^{\delta_m}-1} + 1$$ $$\log_2 m \le \dfrac{\delta_m (2^{\delta_m}-1) + \delta_m -2}{2^{\delta_m}-1} + 1$$ $$\log_2 m \le \delta_m + 1 + \dfrac{\delta_m -2}{2^{\delta_m}-1}$$ Pero tenga en cuenta que $\delta_m + 1 = \lceil \log_2 m \rceil$ Así que $$\log_2 m \le \lceil \log_2 m \rceil + \dfrac{\delta_m -2}{2^{\delta_m}-1}$$ lo que siempre es cierto mientras la fracción restante no sea negativa. Dado que $2^{\delta_m}-1$ es obviamente positivo, todo lo que necesitamos es $$\delta_m -2 \ge 0$$ que es cierto para todos $m \ge 4$ .

Tratamiento de $m = 3$ como caso especial, hemos demostrado (esperemos) que todas las derivadas aritméticas de registro de la forma $2^a \cdot m$ con m un único primo impar son números prácticos.