la continuidad de la función definida por la integral de superficie

Question

Estoy considerando esta función positiva $r$

$$ \varphi(r) = \int\limits_{\parcial B(0,r)} f \, dS. $$

donde $f$ $C^1(\mathbb{R}^n)$ función y $\partial B(0,r)$ es la superficie de la $n$-esfera.

Creo que esta función debe ser continua (incluso si $f$ sólo es continua), pero estoy teniendo un tiempo difícil la prueba, que debe encontrar una lo suficientemente pequeño como $h>0$, por lo que

$$ \left| \parcial B(0,r+h) - \parcial B(0,r) \right| < \varepsilon. $$

Mis ideas fallidas -Esta sería la rutina si tuviera $\partial B(0,r) \subset \partial B(0,r+h)$, pero que es falso, sin embargo si de alguna manera podría transformar la integral de la frontera hacia el interior de la bola que iba a solucionar el problema, pero no sé si eso es posible.

-La otra idea era mostrar que el$\varphi(r) = f(c_r) \operatorname{Measure}(\partial B(0,r))$$c_r$, en función de r y pasando de allí, pero entonces debo asumir que $\lim\limits_{h \to 0} c_{r+h} = c_r$ pero eso es suponiendo que lo que estoy tratando de demostrar.

---

Probablemente estoy perdiendo algo importante aquí, así que todas las sugerencias serán bienvenidos.

Answer 1

Creo que se puede hacer algo como lo siguiente: vamos a $\varepsilon,\varepsilon'>0$ ser dado. A continuación, podemos optar $h$ tan pequeña que $$\phi(r+h)=\int_{\partial B(0,r+h)}f(x)\mathrm{d}S=\int_{\partial B(0,r)}f(x(r+h)/r)\mathrm{d}S+O(\varepsilon') \int_{\partial B(0,r+h)}|f(x)|\mathrm{d}S,$$ the error term appearing because we changed the measure. The last integral being finite, we may just absorb this into the $O(\varepsilon'),$ and by choosing $\varepsilon'$ small enough (and for correspondingly small $h$), we may ensure that $O(\varepsilon')<\varepsilon.$ We also have $$\left|\int_{\partial B(0,r)}f(x)-f(x(r+h)/r)\mathrm{d}S\right|\leq\int_{\partial B(0,r)}|f(x)-f(x(r+h)/r)|\mathrm{d}S,$$ and once $h$ is small enough, $|f(x)-f(x(r+h)/r)|\leq\max\{\|\triangledown f(x)\|: x\in\parcial B(0,r)\}(r/h)<\varepsilon,$ since this maximum must be finite on a compact set (and using the fact that $f\C^{1}(\mathbb{R}^{n})$). That means the integral above is bounded by $\varepsilon\cdot\mathrm{meas}(\partial B(0,r)).$ Putting it all together, we have (for sufficiently small $h$): \begin{align*}|\phi(r)-\phi(r+h)|&=\left|\int_{\partial B(0,r)}f(x)-f(x(r+h)/r)\mathrm{d}S\right|+O(\varepsilon')\\&< \varepsilon(\mathrm{meas}(\partial B(0,r))+1).\end{align*} Since our choice of $\varepsilon$ was arbitrary, $\phi$ es continua.

Answer 2

Supongamos que estamos trabajando en coordenadas esféricas. A continuación, puede volver a escribir la integral como

$$g(r) =\int_{\partial B_r}f=\int_{\frac{- \pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2 \pi} f(\theta, \phi, r) d\theta d\phi$$

Desde $f$ a nivel mundial es $C^1$, se pueden diferenciar bajo el signo integral (con respecto a $r$), por lo $g$ es diferenciable, por lo tanto continua.