Cómo mostrar $7^{th}$ grado del polinomio es no positivo en $[0,1]$

Question

Deje $0\le x\le 1$, muestran que la desigualdad $$99x^7-381x^6+225x^5-415x^4+157x^3-3x^2-x-1\le 0$$

Este problema viene del hecho de que he resuelto diferente de la desigualdad.Traté de resolver por factorización para ver si podía conseguir símbolos.pero yo no.

esta desigualdad se mantenga por wolfapha de la Prueba.

Answer 1

Porque por AM-GM $$1+x+3x^2-157x^3+415x^4-225x^5+381x^6-99x^7=$$ $$=1+x+3x^2-157x^3+370x^4+x^4(45-225x+282x^2)+99x^6(1-x)\geq$$ $$\geq370x^4+3x^2+x+1-157x^3=6\cdot\frac{185}{3}x^4+3x^2+x+1-157x^3\ge$$ $$\geq9\sqrt[9]{\left(\frac{185}{3}x^4\right)^6\cdot3x^2\cdot x\cdot1}-157x^3=\left(9\sqrt[9]{\left(\frac{185}{3}\right)^6\cdot3}-157\right)x^3\geq0.$$