$f=u+iv$ holomorfo, $xu+yv = (x^2+y^2)e^x \cos y$ ¿Qué es? $f$ ?

Question

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ holomorfo, $xu+yv = (x^2+y^2)e^x \cos y$ ¿Qué es? $f$ ?

Traté de interpretar $xu+yv$ como alguna parte de una nueva función, por ejemplo, como la parte real de $\overline{z}f$ pero esta función ya no es holomorfa, así que no sé cómo continuar. (Quizás $\dfrac{\partial}{\partial\overline{z}}\overline{z}f)=1$ ? Pero, ¿cómo aprovecharlo?)

Answer 1

Lo que tienes que notar es que $$ \frac{f(z)}{z} = \frac{u+iv}{x+iy} = \frac{(u+iv)(x-iy)}{x^2+y^2}, $$ cuya parte real es $$ \frac{xu+yv}{x^2+y^2}, $$ que es igual a $e^x \cos{y}$ según el problema. Ahora encuentra el conjugado armónico de $e^x \cos{y}$ que es bien conocido por ser $e^x \sin{y}$ por razones obvias relacionadas con la fórmula de Euler, y reescribir la ecuación para incluir la parte imaginaria: $$ \frac{f(z)}{z} = e^x(\cos{y}+i\sin{y}) = e^{x+iy}=e^z. $$

Answer 2

Tenemos $xu+yv=(x^2+y^2)e^x\cos y$ . Por eficiencia notacional, dejemos que $G(x,y) = (x^2+y^2)e^x\cos y$ .

Este es un procedimiento para encontrar

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Paso 1:

Tomar la derivada parcial con respecto a $x$ y multiplicar por $x$ para encontrar que

$$x^2u_x+xu+xyv_x=xG_x$$

donde el subíndice $x$ significa el primer parcial con respecto a $x$ .

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Paso 2:

Tomar la derivada parcial con respecto a $y$ y multiplicar por $y$ para encontrar que

$$y^2v_y+yv+xyu_y=yG_y$$

donde el subíndice $y$ significa el primer parcial con respecto a $y$ .

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Paso 3:

Ahora, suma estas dos últimas ecuaciones y aplica las ecuaciones de Cauchy-Riemann ( $u_x=v_y$ y $u_y=-v_x$ ). Esto revela que

$$(x^2+y^2)u_x+G=xG_x+yG_y$$

lo que implica que

$$u_x=v_y=\frac{xG_x+yG_y-G}{x^2+y^2}$$

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Paso 4:

Integrar con respecto a $x$ para encontrar $u$ dentro y la constante de integración e integrar con respecto a $y$ para encontrar $v$ dentro y constante de integración.

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Paso 5:

Aplicar $xu+yv=G$ para todos $x$ y $y$ para encontrar las constantes de integración. A continuación, $f=u+iv$ .