$\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Question

Que $a, b, c$ ser positivo números verdaderos tales que $a\geq b\geq c$ y $abc=1$ demuestran que $$\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$ $

Answer 1

Usando la desigualdad de Hölder tenemos:

$$\left(\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\right)^{2/3} (a(a+b)+b(b+c)+c(c+a))^{1/3}\geq a+b+c.$$

es decir

$$\left(\frac{a}{\sqrt{a+b}}+\frac{b}{\sqrt{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{c+a}}\right)^{2} \geq \frac{(a+b+c)^{3}}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}.$$

Tenemos que demostrar que:

$$\frac{(a+b+c)^{3}}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca} \geq \frac{9}{2}.$$

i.e. $$2(a+b+c)^3\geq9\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right). \tag{1}$$

Que $p=a+b+c$ y $q=ab+bc+ca$ y con que $abc=1$ y $AM-GM$ obtenemos que $q \geq 3$.

$(1)$ De la desigualdad es equivalente a:

$$2p^3 \geq 9\left(p^2-2q+q\right) \Leftrightarrow 2p^3+9q \geq 9p^2.$$

Aplicar $AM-GM$ obtenemos

$$2p^3+9q \geq 2p^3+27=p^3+p^3+27 \geq 3\cdot \sqrt[3]{27p^6}=9p^2,$ $ como sea necesario.

Answer 2

Que $a=b$. $c=\frac{1}{a^2}$ Y la fórmula es: $$f(a)=\sqrt{\frac{a}{2}}+\sqrt{a+\frac{1}{a^2}}$ $ $$f'(a)=\frac{1}{2\sqrt{2a}}+(\frac{1}{2}-\frac{1}{a^3}).\frac{1}{\sqrt{a+\frac{1}{a^2}}}$ $

La raíz única en $[0,\infty)$ de f'(a) es 1, por lo tanto $f(1)=\frac{3}{\sqrt{2}}$ es un mínimo.

Ahora, ¿qué sucede si $a\neq b$? Utilice el mismo método, pero decir $b=k.a+(1-k)$ (% que $k=\frac{b-1}{a-1}$ser una constante, y si cambio de $a=1$ $a$ y $c$). Entonces $c=\frac{1}{ka^2+a(1-k)}$ y:

$$f_k(a)=\frac{a}{\sqrt{a.(1+k)+(1-k)}}+\frac{ka+(1-k)}{\sqrt{ka+(1-k)+\frac{1}{ka^2+a(1-k)}}}+\frac{\frac{1}{ka^2+a(1-k)}}{\sqrt{a+\frac{1}{ka^2+a(1-k)}}}$$

Una vez más, obtener $f'_k$ y demuestran que su única raíz es $1$ (esto es muy técnico, uso de mathematica). Estoy de acuerdo si hay algo más simple.

Answer 3

La función $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ $ es convexo. Aplicar Jensen como sigue: $$ un * f [un + b] + b * f [b + c] + c * f [c + un] > = (un + b + c) * f [\frac {(un (un + b) + b (b + c) + c (c + a))} {(un + b + c)}] = \frac {(un + b + c) ^ {3/2}} {\sqrt {un ^ 2 + a b + b ^ 2 + a c + b c + c ^ 2}} $$

Tenemos que demostrar %#% $ #%

Esto es equivalente a probar:

$$\frac{(a + b + c)^{3/2}}{\sqrt{a^2 + a b + b^2 + a c + b c + c^2}}>=\frac{3}{\sqrt{2}}$$

Que es un ejercicio fácil.