Conjunto De Bernoulli Distribución

Question

Si $X$ $Y$ son dos (no necesariamente independientes) de Bernoulli con probabilidades de éxito $a$ $b$ resp., ¿cómo podemos construir la articulación dist. en términos de $a$,$b$, y $\rho$---la correlación?

Puedo conseguir $\mathbb{P}(X=1,Y=1)$ mediante la manipulación de la expresión de $\rho$, pero perdió por los otros tres...

Answer 1

Sugerencia: $P(X=1) = P(X=1,Y=0) + P(X=1,Y=1)$

Answer 2

Si usted escribe $c:= P(X=1, Y=1)$, entonces usted tiene, como otros dijeron, por definición de coeficiente de correlación: $$ \rho = \frac{c - ab}{ \sqrt{a(1-a)b(1-b)} } $$ y $$ c = ab + \rho \sqrt{a(1-a)b(1-b)} $$ Por lo tanto, la distribución conjunta es:

$P(X=1, Y=1) =c$

$P(X=1, Y=0) =a-c$

$P(X=0, Y=1) =b-c$

$P(X=0, Y=0) =1-a-b+c$

(es simplemente llenar la tabla de contingencia).

Answer 3

El coeficiente de correlación es igual a $$\frac{E(XY)-ab}{\sqrt{a(1-a)}\sqrt{b(1-b)}}.$$ Si usted sabe que el coeficiente de correlación, y $a$$b$, entonces usted sabe $E(XY)$.

Pero $E(XY)=\Pr(X=1 \cap Y=1)$. A partir de esto, el uso de Robrt de Israel sugerencia, se puede calcular el resto de la $\Pr(X=i \cap Y=j)$.