Demostrando $|\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac {\sin x}x\,\mathrm dx| > \frac{1}{2n+1}$

Question

Mostrar $$ \left|\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin x}x \,\mathrm{d}x\right| > \frac{1}{2n+1}. \quad n\in \mathbb{N}$$

$$\left|\frac{\sin x}{x}\right|>\left|\frac{\sin x}{(n+1)\pi}\right|,$$ so $$\left|\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin x}x \,\mathrm{d}x\right|>\left|\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin x}{(n+1)\pi} \,\mathrm{d}x\right|=\frac{2}{(n+1)\pi}. $$

No sé cómo obtener la estimación de $\dfrac{1}{2n+1}$.

Answer 1

Sugerencia: ${2\over{\pi(n+1)}}={1\over{{\pi\over 2}n+{\pi\over 2}}}\geq {1\over {2n+1}}$ implica que el ${\pi\over 2}n+{\pi\over 2}\leq 2n+1$ $(2-{\pi\over 2})n\geq {\pi\over 2}-1$ esto es cierto para $n\geq 2$.

El estudio de los casos de $n=0,1$ por separado.

Answer 2

Para cualquier $n\geq 1$ $$\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{|\sin x|}{x}\,dx=\int_{0}^{\pi}\frac{\sin x}{x+n\pi}\,dx=\int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\underbrace{\left(\frac{1}{n\pi+x}+\frac{1}{(n+1)\pi -x}\right)}_{\text{decreasing over }[0,\pi/2]}\,dx $$ conduce a $$\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{|\sin x|}{x}\,dx \geq \int_{0}^{\pi/2}\sin(x)\frac{4}{(2n+1)\pi}\,dx = \frac{2}{\pi\left(n+\tfrac{1}{2}\right)}$$ que es más fuerte de lo necesario.

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También podemos considerar que la transformada de Laplace de $f(x)=\sin(x)\cdot\mathbb{1}_{(n\pi,(n+1)\pi)}(x)$ está dado por $$\mathcal{L} f(s) = \frac{(-1)^n}{s^2+1}\left(e^{-\pi ns}+e^{-\pi(n+1)s}\right) $$ y la transformada inversa de Laplace de $\frac{1}{x}$ es simplemente $1$, por lo tanto $$ \left|\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin x}{x}\,dx\right|=\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-\pi ns}+e^{-\pi(n+1)s}}{s^2+1}\,ds $$ y el lado derecho es muy adecuado para proporcionar tanto a los límites superior e inferior.
De hecho, el lado derecho es, obviamente,$\leq \frac{1}{\pi n}+\frac{1}{\pi(n+1)}$, y por la de Cauchy-Schwarz desigualdad

$$\begin{eqnarray*} &&\frac{2}{\pi n}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-\pi ns}+e^{-\pi(n+1)s}}{s^2+1}\,ds\\ &\geq& \int_{0}^{+\infty}(s^2+1)\left(e^{-\pi ns}+e^{-\pi(n+1)s}\right)\,ds \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-\pi ns}+e^{-\pi(n+1)s}}{s^2+1}\,ds\\&\geq&\left(\int_{0}^{+\infty}e^{-\pi ns}+e^{-\pi(n+1)s}\,ds\right)^2=\left(\frac{1}{\pi n}+\frac{1}{\pi(n+1)}\right)^2 \end{eqnarray*}$$ por lo tanto $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{e^{-\pi ns}+e^{-\pi(n+1)s}}{s^2+1}\,ds \geq \frac{(2n+1)^2}{2\pi n (n+1)^2}. $$