¿Conservación global de la energía en la ecuación de Burgers en 3D?

Question

¿Es la energía $\| u \|^2_{L^2}$ una cantidad conservada para la ecuación de Burgers en 3D para soluciones suaves que decaen rápidamente?

Pueden aparecer singularidades en tiempo finito, pero me interesa el comportamiento ANTES de las explosiones.

La ecuación de Burgers en 3D $ {\partial v \over \partial t} + (v \cdot \nabla) v =0 $ puede escribirse como $Dv/Dt =0$ donde $D/Dt$ es la derivada material. La densidad de energía $v^2$ se advierte así, es decir, la energía se conserva "localmente".

Pero, ¿se conserva globalmente?

En concreto, ¿es la norma $\| u \|_{L^2}$ ¿una cantidad conservada? En 1D es fácil demostrar que la cantidad equivalente se conserva, pero en 3D no estoy tan seguro.

En cualquier caso, me gustaría tener una prueba, o una referencia, etc. para poder comprobarlo por mí mismo.

(Sólo me preocupan las soluciones suaves y de rápida descomposición...)

Answer 1

1. La respuesta es no en general. He aquí un ejemplo. Sea $f(r,t)$ sea una solución clásica de la ecuación de Burger unidimensional $f_t+ff_r=0$ definido para $r>0$ y algún intervalo $0\le t\le T$ y $f$ con un soporte compacto en $0<r<\infty$ . Entonces denota $r=|x|$ como la distancia radial en $R^3$ , y establecer $$ u(x,t) = \frac{x}{r}f(r,t).$$ Entonces $u$ es una solución de la ecuación de Burger en 3D, suave durante $0\le t\le T$ . Pero la energía no se conserva, porque $$ \int_{R^3}|u|^2\,dx = 4\pi\int_0^\infty f^2(r,t)r^2\,dr, $$ que no se sabe si es independiente de $t$ (Es $\int f^2\,dr$ que es.)

2. La respuesta es sí para una solución incompresible, es decir, si la divergencia de $u$ es 0. La razón es que $$\frac{\partial}{\partial t}\int_{R^3}|u|^2\,dx = -2\int_{R^3} u\cdot(u\cdot\nabla u)\,dx.$$ El integrando de la derecha es igual a $$ {\rm div\,}\left(\frac{1}{2}|u|^2u\right)-\frac{1}{2}|u|^2{\rm div\,}u. $$ Por el teorema de la divergencia, el primer término se integra a 0 para funciones que desaparecen rápidamente, y el segundo es 0 para funciones incompresibles $u$ .

Edición: pero no sé si hay hay alguna solución en el caso 2, que no sea $u=0$ . Hay muchos del tipo descrito en 1.