Definición de la categoría y natural de las transformaciones

Question

El libro que soy de la lectura menciona la definición de una categoría de la siguiente manera.

Una categoría es una colección de abjects $\{X,Y, \ldots \}$ tal que para dos objetos X, Y tenemos un conjunto $\text{Mor}(X,Y)$ y para los tres objetos de $X, Y, Z$ una asignación (composición ley), $$ \text{Mor}(X,Y) \times \text{Mor}(Y,Z) \rightarrow \text{Mor}(X,Z)$$ la satisfacción de las siguientes axiomas:

• Dos conjuntos de $\text{Mor}(X,Y)$ $\text{Mor}(X',Y')$ son distintos, a menos que $X=X'$$Y=Y'$, en cuyo caso son iguales.
• Cada una de las $\text{Mor}(X,X)$ tiene un elemento $id_X$.
• La composición de la ley es asociativa.

A continuación, un poco más en el texto que define la transformación natural, que son los morfismos de la categoría formada por los functors. Si $\lambda, \mu$ son dos functors de $\mathcal{U}$ $\mathcal{U}'$(es decir covariante), luego de una transformación natural $t:\lambda \rightarrow \mu$ se compone de una colección de morfismos $$ t_X : \lambda(X) \rightarrow \mu(X)$$ como $X$ rangos de $\mathcal{U}$, lo que hace que el diagrama conmutativo para cada $f: X\rightarrow Y$, esto es, $$ \mu(f) \circ t_X = t_Y \circ \lambda(f).$$

Mi pregunta es ¿cómo se puede demostrar que esta categoría, de hecho satisface el primer punto en la definición? (Por esta categoría me refiero a la categoría formada por los functors y donde los morfismos son las naturales transformaciones)

Mi intento: Considere la posibilidad de que los dos conjuntos de $\text{Mor}(\lambda,\mu)$ $\text{Mor}(\lambda',\mu')$ no son disjuntas. A continuación, me gustaría mostrar que $\lambda=\lambda'$$\mu=\mu'$. Debido a la consideración que es posible llevar a $t$ en la sección de $\text{Mor}(\lambda,\mu)$$\text{Mor}(\lambda',\mu')$. Tomar un conjunto arbitrario $X\in\mathcal{U}$ a continuación, $$ t_X \in \text{Mor}(\lambda(X),\mu(X)) \\ t_X \in \text{Mor}(\lambda'(X),\mu'(X)) $$

Debido a que el primer punto se sigue que $\lambda(X) = \lambda'(X)$$\mu(X) = \mu'(X)$. Y desde $X$ era arbitraria, este será el caso para cada $X\in\mathcal{U}$.

Es en este punto que me quedé atrapado, podría por favor alguien que me ayude? Gracias de antemano.

Answer 1

Realmente no se puede demostrar que el real colecciones de morfismos que constituyen una transformación natural entre dos functors son distintos, porque no es siempre el caso.

Por ejemplo, si $\mathcal{U'}$ es la categoría de $\mathbf{Vect}_{\Bbb R}$ de los verdaderos espacios vectoriales, entonces para cualquier functor $\mu:\mathcal{U}\to \mathbf{Vect}_{\Bbb R}$ y cualquier $a\in \mathbb{R}$, usted tiene una transformación natural $\mu\Rightarrow \mu$ definido por $t_X:\mu(X)\to \mu(X):v\mapsto av$. Esta es una transformación natural, independientemente de cómo se $\mu$ se define en flechas, así que si $\mu'$ es un functor $\mathbf{U}\to \mathbf{Vect}_{\Bbb R}$ que está de acuerdo con $\mu$ sobre los objetos (es decir, que los $\mu(X)=\mu'(X)$ todos los $X$$\mathcal{U}$) pero no en los morfismos, entonces la misma colección de $(t_X:\mu'(X)\to \mu'(X))$ constituiría una transformación natural $\mu'\Rightarrow \mu'$.

De hecho, una parte de este ejemplo funciona para cualquier categoría de $\mathcal{U'}$ : la identidad natural de transformación de $\mu\Rightarrow \mu$ siempre es dado por la colección de identidades $$(id_{\mu_X}:\mu(X)\to \mu(X))_{X\in Ob (\mathcal{U})},$$ así que no depende del $\mu$ está definido para morfismos. Por lo tanto si $\mu'$ es como el anterior, tenemos de nuevo que la identidad de $id_\mu$ es técnicamente igual a la identidad de $id_{\mu'}$. El ejemplo anterior es básicamente el mismo caso, salvo que, dado que la categoría de $\mathbf{Vect_\Bbb{R}}$ es enriquecido sobre la misma, todos los múltiplos de la contraejemplo también son contraejemplos.

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El punto es, como Alex Rector dijo en su respuesta, que consideramos que cada transformación natural $t:\lambda\Rightarrow \mu$ tiene asignado un dominio $\lambda$ y codominio $\mu$, y que estos son parte de la definición de $t$. Esto es similar al caso de funciones entre conjuntos : si se define una función de $f:A\to B$ como un conjunto $\Gamma \subset A\times B$ tal que para cada a $a\in A$ hay un único par $(a,b)\in \Gamma$, y luego de dos funciones con diferentes codominio técnicamente puede ser visto como el mismo conjunto $\Gamma$. Pero si consideramos que el $A$ $B$ son parte de la definición de $f$, esto no es posible.

Answer 2

El propósito de este post es dar una idea de lo que yo creo que es un error en la pregunta y en la respuesta.

El OP define una categoría como

una colección de objetos de $\{X,Y, \ldots \}$ tal que para dos objetos X, Y tenemos un conjunto de [énfasis añadido] $\text{Mor}(X,Y)$ ...

Más tarde, el OP escribe

... las naturales transformaciones, que son los morfismos de la categoría [énfasis añadido] formado por los functors ...

La declaración de que la colección de morfismos entre dos functors es un conjunto está realizado en varias ocasiones a lo largo del hilo.

Vamos a demostrar que no es así:

Deje $\mathcal C$ ser el único de la categoría cuyos objetos son los conjuntos y cuyos morfismos son definidos de la siguiente manera: $\hom_{\mathcal C}(X,Y)=\varnothing$ si $X\neq Y$$\hom_{\mathcal C}(X,X)=\{\text{id}_X\}$.

Deje $\mathcal C'$ será el habitual de la categoría de conjuntos.

Deje $F$ ser el único functor de $\mathcal C$ $\mathcal C'$tal que $F(X)=X$ todos los $X$.

Si hay un conjunto $S$ cuyos elementos son los endomorphisms de $F$, entonces para cada conjunto de $X$ tendríamos un surjection de $S$ en el conjunto de endomaps de $X$. Esto es claramente imposible.

Edit. Vamos a definir una categoría dada por una colección de objetos, y, para cada par de objetos, una colección de morfismos la satisfacción de las habituales axiomas, sin la disjointness condición. Entonces es fácil ver que cada categoría es canónicamente isomorfo a una categoría con distintos Hom-colecciones.

Answer 3

No hay mucho que demostrar. Por definición, una transformación natural $t:\lambda \to \mu$ va de un determinado functor $\lambda$ a otra especificado functor $\mu$. Es decir, el "origen-destino" datos " $(\lambda,\mu)$ está determinada únicamente por $t$. A fortiori, una sola transformación natural no puede tener dos orígenes o destinos, lo que implica disjointness de los morfismos de conjuntos.