Prueba de Descartes teorema de

Question

Me encontré con el uso de Descartes teorema mientras que la solución de una pregunta.He buscado pero sólo pude encontrar la theorem pero no cualquier proof.Incluso, Wikipedia también, sólo de los estados, el teorema!!Quiero saber el procedimiento para encontrar la radius de la Soddy Circle??

Me disculpo si su duplicado y mencionar que es no una tarea.

Answer 1

Parte I - la Prueba de Soddy-Gosset teorema (generalización de Descartes teorema).

Para cualquier entero $d \ge 2$, considerar el problema de la colocación de $n = d + 2$ híper-esferas de tocarse el uno al otro en $\mathbb{R}^d$. Deje $\vec{x}_i \in \mathbb{R}^d$ $R_i \in \mathbb{R}$ ser el centro y el radio de la $i^{th}$ ámbito. La condición para que estos esferas de tocarse el uno al otro puede ser expresado como:

$$|\vec{x}_i - \vec{x}_j| = | R_i + R_j | \quad\text{ for }\quad 1 \le i < j \le n$$

o, equivalentemente,

$$|\vec{x}_i - \vec{x}_j|^2 = (R_i + R_j)^2 - 4R_iR_j\delta_{ij}\quad\text{ for }\quad 1 \le i, j \le n\tag{*1}$$

donde $\;\delta_{ij} = \begin{cases}1,&i = j\\0,& i \ne j\end{cases}\;$ es la Delta de Kronecker.

Puesto que el $n = d+2$ $\vec{x}_i$ viven en $\mathbb{R}^d$, $d+1$ vectores $\vec{x}_2 - \vec{x}_1, \vec{x}_3 - \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n - \vec{x}_1$ son lineales depedent, esto significa que podemos encontrar $n-1$ números de $\beta_2, \beta_3, \ldots, \beta_n$ no todos cero, tales que $$\sum_{k=2}^n \beta_k (\vec{x}_k - \vec{x}_1 ) = \vec{0}$$ Deje $\beta_1 = -(\beta_2 + \ldots + \beta_n)$, podemos reescribir esta relación de una forma más simétrica forma:

$$ \sum_{k=1}^n \beta_k = 0 \quad\text{ y }\quad \sum_{k=1}^n \beta_k \vec{x}_k = \vec{0} \quad\text{ sujeto a algunas de }\;\; \beta_k \ne 0 $$

Si fijamos $j$$(*1)$, varias de las $i^{th}$ plazo por $\beta_i$ y, a continuación, suma más de $i$, obtenemos

$$ \sum_{i=1}^n\beta_i |\vec{x}_i|^2 = \sum_{i=1}^n\beta_i R_i^2 + 2 \left( \sum_{i=1}^n \beta_i R_i \right) R_j - 4R_j^2 \beta_j $$ Esto lleva a $$4R_j^2 \beta_j = 2 Un R_j + B \quad\text{ donde }\quad\ \begin{cases} A &= \sum\limits_{i=1}^n \beta_i R_i\\ B &= \sum\limits_{i=1}^n\beta_i ( R_i^2 - |\vec{x}_i|^2 ) \end{casos} \etiqueta{*2} $$ Divida $(*2)$ $R_j$ y suma más de $j$, obtenemos

$$4A = 2nA + B\sum_{j=1}^n\frac{1}{R_j}\quad\iff\quad A = -\frac{B}{2d}\sum_{j=1}^n\frac{1}{R_j}\tag{*3}$$

Una consecuencia de esto es $B$ no puede desaparecer. De lo contrario, $B = 0 \implies A = 0$ $(*2)$ implica que todos los $\beta_j = 0$, lo que claramente no es el caso.

Divida $(*2)$ $R_j^2$ y suma más de $j$, obtenemos

$$0 = 4\sum_{j=1}^n \beta_j = 2A\sum_{j=1}^n\frac{1}{R_j} + B\sum_{j=1}^n\frac{1}{R_j^2}$$

Se combinan con $(*3)$, la CARTA se convierte en

$A$B \left( \sum_{j=1}^n \frac{1}{R_j^2} - \frac{1}{d}\left( \sum_{j=1}^n\frac{1}{R_j}\right)^2\right) = 0 \quad\ffi\quad \left( \sum_{j=1}^n\frac{1}{R_j}\right)^2 = d\sum_{j=1}^n \frac{1}{R_j^2}\etiqueta{*4} $$ La RHS de $(*4)$ es a veces llamado Soddy-Gosset teorema. Al $d = 2$, se reduce a la de Descartes cuatro círculo teorema, el teorema queremos probar: $$\left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} \right)^2 = 2 \left( \frac{1}{R_1^2} + \frac{1}{R_2^2} + \frac{1}{R_3^2} + \frac{1}{R_4^2} \right) $$

Parte II - Construcción de interior/exterior Soddy híper-esferas

Hay un interesante producto secundario de la prueba en la Parte I. $\beta_k$ se determina hasta un total de factor de escala. Si queremos normalizar $\beta_k$ tal que $B = 4$, $(*2)$ y $(*3)$ nos permite derivar una expresión explícita para $\beta_j$

$$\beta_j = \frac{1}{R_j^2} - \left(\frac{1}{d} \sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k}\right)\frac{1}{R_j}\tag{*5}$$

Podemos utilizar esta relación para construir el interior y exterior de Soddy híper-esferas.

Supongamos que ya tenemos $n-1 = d+1$ híper-esferas de tocarse entre sí. El interior de Soddy hiper-esfera es la esfera fuera de todos estos $n-1$ esferas y, sin embargo, tocar todos ellos.
Deje $\vec{x}_k$ $r_k$ ser el centro y el radio de la $k^{th}$ hiper-esfera de $1 \le k < n$. Deje $\vec{x}_{in}$ $r_{in}$ ser el centro y el radio del interior Soddy híper-esfera. Si nos vamos a $$\vec{x}_n = \vec{x}_{in}\quad\text{ and }\quad R_k = \begin{cases}r_k,& 1 \le k < n\\ r_{in},& k = n\end{cases}$$ los debates en la Parte I nos dicen

$$\left( \frac{1}{r_{en}} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{r_k} \right)^2 = d \left( \frac{1}{r_{en}^2} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{r_k^2} \right)\etiqueta{*6a}$$

Podemos usar esto para determinar $r_{in}$. Si el $n-1$ $\vec{x}_1, \vec{x}_2, \ldots, \vec{x}_{n-1}$ están en posición general, es decir, son los vértices de un no-degenerada $d$-simplex, el $d$ vectores $\vec{x}_2 - \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_{n-1} - \vec{x}_1$ serán linealmente independientes. Esto implica que existe $d$ coeficientes de $\gamma_2, \gamma_3, \ldots, \gamma_{n-1}$ tal que

$$\vec{x}_{in} - \vec{x}_1 = \gamma_2 (\vec{x}_2 - \vec{x}_1) + \ldots + \gamma_{n-1} ( \vec{x}_{n-1} - \vec{x}_1 )$$

Una consecuencia de esto es $\beta_n \ne 0$. Esto significa que podemos utilizar $(*5)$ y la relación $\sum\limits_{k=1}^n \beta_k \vec{x}_k = \vec{0}$ para calcular el centro de $\vec{x}_{in}$ del interior de Soddy híper-esfera.

Para el exterior Soddy híper-esfera. Se trata de una esfera que contiene el original de la $n-1$ esferas y tocar cada uno de ellos. Deje $\vec{x}_{out}$ $r_{out}$ ser el centro y el radio exterior de la Soddy híper-esfera. El tocar la condición de que ahora toma la forma:

$$\begin{array}{ccccl} |\vec{x}_{out} - \vec{x}_j | &=& | r_{out} - r_j |\quad & \text{ for }\quad & 1 \le j < n\\ |\vec{x}_i - \vec{x}_j | &=& | r_i + r_j | \quad & \text{ for }\quad & 1 \le i < j < n \end{array} $$ Una vez más, si nos vamos a $$\vec{x}_n = \vec{x}_{out}\quad\text{ and }\quad R_k = \begin{cases}r_k,& 1 \le k < n\\ -r_{out},& k = n\end{cases}$$ se pueden repetir los debates en la Parte I para obtener $$\left( -\frac{1}{r_{salir}} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{r_k} \right)^2 = d \left( \frac{1}{r_{salir}^2} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{r_k^2} \right)\etiqueta{*6b}$$ Podemos usar esto para determinar $r_{out}$. Una vez más, si $\vec{x}_1,\ldots,\vec{x}_{n-1}$ están en posición general, encontraremos $\beta_n \ne 0$. Como resultado, podemos utilizar $(*5)$ a calcular $\vec{x}_{out}$, el centro de la parte externa del Soddy híper-esferas, de los restantes centros.

Si se comparan $(*6a)$$(*6b)$, que son muy similares, $r_{in}$ $-r_{out}$ son las dos raíces de la ecuación en $R$.

$$\left( \frac{1}{R} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{r_k} \right)^2 = d \left( \frac{1}{R^2} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{r_k^2} \right)$$

Si las dos raíces de esta ecuación tiene signo diferente, el positivo de la raíz será el interior de Soddy radio de $r_{in}$, el negativo de la raíz se $-r_{out}$, la negativa del exterior Soddy radio.

Answer 2

En la secundaria, mi profesor de geometría menciona el Soddy-Gosset teorema y yo había tenido curiosidad acerca de su prueba desde siempre. Hace unos 5 años, me decidí a intentar demostrar y vino para arriba con una prueba interesante y un corolario de que, de acuerdo a mi investigación, era desconocida, al menos en la forma que tengo.

La primera sección a continuación está tomado de un artículo que escribió en ese momento. Las últimas secciones son una aclaración de la parte posterior de ese papel.

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Tangente Esferas

Supongamos que la esfera con un radio de $r_1$ y del centro de $c_1$, $(c_1,r_1)$, y la esfera con radio de $r_2$ y del centro de $c_2$, $(c_2,r_2)$, en el exterior, tangente. Entonces tenemos $$ \begin{align} |c_1-c_2|^2&=(r_1+r_2)^2\tag{1a}\\ |c_1|^2-2c_1\cdot c_2+|c_2|^2&=r_1^2+2r_1r_2+r_2^2\tag{1b} \end{align} $$ Para una esfera, $(c,r)$, el radio de la esfera invertida, $\bar{r}$, satisface $$ \begin{align} \frac{|c|^2}{r^2}-1&=\frac1{r\bar{r}}\tag{2a}\\ |c|^2-r^2&=\frac r{\bar{r}}\tag{2b} \end{align} $$ Que en realidad no uso ninguna de las propiedades de la esférica de la inversión, por lo que simplemente puede tomar $(2)$ como una definición de la $\bar{r}$.

Por lo tanto, si restamos $r_1^2+r_2^2$ desde ambos lados de $\mathrm{(1b)}$ y el uso de la ecuación de $\mathrm{(2b)}$, obtenemos $$ \begin{align} \frac{r_1}{\bar{r}_1}+\frac{r_2}{\bar{r}_2}-2c_1\cdot c_2&=2r_1r_2\tag{3a}\\ \frac{c_1}{r_1}\cdot\frac{c_2}{r_2}-\frac{1}{2}(\frac{1}{\bar{r}_1r_2}+\frac{1}{r_1\bar{r}_2})&=-1\tag{3b} \end{align} $$ Además, a partir de la ecuación de $\mathrm{(2a)}$, obtenemos $$ \frac {c^2}{r^2}-\frac{1}{r\overline{r}}=1\etiqueta{4} $$ Por lo tanto, si, por una esfera en $\mathbb{R}^n$, $(c,r)$, definimos el vector de fila en $\mathbb{R}^{n+2}$ $$ v=\left\langle\frac cr\frac1r,\frac1{\bar{r}}\right\rangle\etiqueta{5} $$ y hacer una matriz cuadrada, $V$, $n+2$ de estos vectores fila de a $n+2$ mutuamente tangentes esferas, entonces obtenemos de la ecuación $\mathrm{(3b)}$, para el fuera de la diagonal de los elementos, y la ecuación de $(4)$, para los elementos de la diagonal, que $$ V\left[\begin{array}{c c c} I_n & 0_{n\times 1} & 0_{n\times 1} \\ 0_{1\times n} & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0_{1\times n} & -\frac{1}{2} & 0 \end{array}\right]V^T = 2I_{n+2}-C_{n+2}\etiqueta{6} $$ donde $C_{n+2}$ $(n{+}2)\times(n{+}2)$ matriz de todas las $1$s. Debido a $C_{n+2}^2=(n+2)C_{n+2}$, se puede comprobar con facilidad que $$ (2I_{n+2}-C_{n+2})^{-1}=\frac{1}{2}I_{n+2}-\frac{1}{2n}C_{n+2}\etiqueta{7} $$ Invertir la ecuación de $(6)$ y se mueven $V$ a la derecha para obtener $$ \left[\begin{array}{c c c} I_n & 0_{n\times 1} & 0_{n\times 1} \\ 0_{1\times n} & 0 & -2 \\ 0_{1\times n} & -2 & 0 \end{array}\right] = V^T(\frac{1}{2}I_{n+2}-\frac{1}{2n}C_{n+2})V\etiqueta{8} $$ Buscando en la $(n+1,n+1)$ elemento de la matriz de la ecuación de $(8)$, obtenemos la ecuación $$ n\sum_{k=1}^{n+2}\frac{1}{r_k^2}=\left(\sum_{k=1}^{n+2}\frac{1}{r_k}\right)^2\etiqueta{9} $$ Si una de las esferas que abarca el resto, de modo que todas las otras esferas que están internamente tangente a ella, entonces la ecuación de $\mathrm{(1a)}$ hace $|c_1-c_2|^2=(r_1-r_2)^2$. Si tenemos en cuenta el radio de la que abarca la esfera a ser negativo, entonces esto se convierte en $|c_1-c_2|^2=(r_1+r_2)^2$ como antes. Por lo tanto, vamos a considerar el radio de un abarcando la esfera a ser negativo.

Por lo tanto, hemos demostrado

El Soddy-Gosset Teorema: Dado $n+2$ mutuamente tangentes esferas en $\mathbb{R}^n$, sus radios, $\{r_k:1\le k\le n+2\}$ satisfacer la ecuación de $(9)$ si el radio de un abarcando la esfera se considera negativa.

Además, si nos fijamos en la $(j,n+1)$ elementos de la matriz de la ecuación de $(8)$$1\le j\le n$, obtenemos la ecuación vectorial $$ n\sum_{k=1}^{n+2}\frac{c_k}{r_k^2}=\sum_{k=1}^{n+2}\frac{c_k}{r_k}\;\sum_{k=1}^{n+2}\frac{1}{r_k}\tag{10} $$ Si dividimos la ecuación de $(10)$ por la ecuación de $(9)$, obtenemos $$ \frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+2}\frac{c_k}{r_k^2}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+2}\frac{1}{r_k^2}} =\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+2}\frac{c_k}{r_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+2}\frac{1}{r_k}}\tag{11} $$ Por lo tanto, hemos obtenido los siguientes

Corolario: Dado $n+2$ mutuamente tangentes esferas en $\mathbb{R}^n$ con radios $\{r_k:1\le k\le n+2\}$, la media de los centros ponderado por $\frac1{r_k^2}$ es igual a la media de los centros ponderado por $\frac1{r_k}$.

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Conclusiones a partir de Soddy-Gosset

Dado el radio de $n+1$ mutuamente tangentes esferas en $\mathbb{R}^n$, el Soddy-Gosset Teorema nos permite calcular el radio de dos esferas tangentes a la otra $n+1$. Es decir, que podemos solucionar $(9)$$\frac1{r_{n+2}}$: $$ n\left(\color{#C00000}{\frac1{r_{n+2}^2}}+\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k^2}\right) =\color{#C00000}{\frac1{r_{n+2}^2}}+2\color{#C00000}{\frac1{r_{n+2}}}\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k}+\left(\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k}\right)^2\tag{12a} $$ $$ (n-1)\color{#C00000}{\frac1{r_{n+2}^2}}-2\color{#C00000}{\frac1{r_{n+2}}}\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k}+n\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k^2}-\left(\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k}\right)^2=0\tag{12b} $$ aplicando la fórmula cuadrática a $(12)$, obtenemos $$ \frac{n-1}{r_{n+2}}=\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k}\pm\sqrt{n}\left[\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k}\right)^2-(n-1)\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k^2}\right]^{1/2}\tag{13} $$ Tenga en cuenta que el discriminante en $(13)$ se desvanece, precisamente, cuando la primera $n+1$ esferas de satisfacer las Soddy-Gosset Teorema sobre la $\mathbb{R}^{n-1}$. Esto implica que $\{c_k:1\le k\le n+1\}$ mentira en un $n-1$ dimensiones hyperplane, y las dos posibilidades para $(c_{n+2},r_{n+2})$ son reflexiones de cada uno de los otros a través de este hyperplane.

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Conclusiones desde el Corolario

Dado el radio de $n+2$ mutuamente tangentes esferas y de los centros de la primera $n+1$ de ellos, el Corolario nos permite determinar $c_{n+2}$, excepto en el caso en que los coeficientes de $c_{n+2}$ cancelar en $(11)$. Es decir, cuando $$ \frac{\dfrac1{r_{n+2}^2}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+2}\frac{1}{r_k^2}} =\frac{\dfrac1{r_{n+2}}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+2}\frac{1}{r_k}}\etiqueta{14} $$ que es equivalente a $$ \begin{align} \frac1{r_{n+2}} &=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+2}\frac1{r_k^2}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+2}\frac1{r_k}} =\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k^2}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k}}\tag{15a,15b}\\ &=\frac1n\sum_{k=1}^{n+2}\frac1{r_k} =\frac1{n-1}\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k}\tag{15c,15d} \end{align} $$ Explicación:
$\mathrm{(15a)}$: reformulación de $(14)$
$\mathrm{(15b)}$: multiplicar el $\mathrm{(15a)}$$\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac1{r_k}$, restar $\frac1{r_{n+2}^2}$, luego se divide por $\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k}$
$\mathrm{(15c)}$: aplicar $(9)$ $\mathrm{(15a)}$
$\mathrm{(15d)}$: multiplicar el $\mathrm{(15c)}$$n$, restar $\frac1{r_{n+2}}$, luego se divide por $n-1$

Tenga en cuenta que $\mathrm{(15b)}$ $\mathrm{(15d)}$ dicen que la primera $n+1$ esferas de satisfacer las Soddy-Gosset Teorema de la $\mathbb{R}^{n-1}$. De nuevo, esto implica que $\{c_k:1\le k\le n+1\}$ mentira en un $n-1$ dimensiones hyperplane.

Además, $\mathrm{(15d)}$ corresponde a $(13)$ cuando el discriminante se desvanece.

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La localización de $\boldsymbol{c_{n+2}}$ en el Caso Excepcional de

Por la rotación y la traslación, podemos organizar que la $n-1$ dimensiones hyperplane que contengan $\{c_k:1\le k\le n+1\}$$x_n=0$. Es decir, si $1\le k\le n+1$, $$ c_{k,n}=0\etiqueta{16} $$ y $c_{n+2,n}$ es la distancia perpendicular de $c_{n+2}$ por encima o por debajo de ese hyperplane. Para la claridad de la presentación, vamos a $\hat{p}$ ser la proyección de $p$ sobre el hyperplane $x_n=0$; es decir,$\hat{p}_k=p_k$$1\le k\le n-1$$\hat{p}_n=0$.

Buscando en la $(j,n)$ elementos de la matriz de la ecuación de $(8)$$1\le j\le n-1$, obtenemos la ecuación vectorial $$ \begin{align} \frac{\hat{c}_{n+2}}{r_{n+2}} &=\frac1n\sum_{k=1}^{n+2}\frac{\hat{c}_k}{r_k}\tag{17a}\\ &=\frac1{n-1}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{c_k}{r_k}\tag{17b} \end{align} $$ que, a la luz de $\mathrm{(15d)}$, da la ecuación vectorial $$ \hat{c}_{n+2}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\frac{c_k}{r_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k}}\tag{18} $$ Buscando en la $(n,n)$ elemento de la matriz de la ecuación de $(8)$ tenemos $$ \begin{align} 1 &=\frac12\frac{c_{n+2,n}^2}{r_{n+2}^2}-\frac1{2n}\frac{c_{n+2,n}^2}{r_{n+2}^2}\\ &=\frac{n-1}{2n}\frac{c_{n+2,n}^2}{r_{n+2}^2}\tag{19} \end{align} $$ lo que nos da $$ c_{n+2,n}=\pm r_{n+2}\sqrt{\frac{2n}{n-1}}\etiqueta{20} $$ Ahora podemos eliminar la rotación, y el uso de $(18)$ $(20)$ para conseguir que $$ c_{n+2}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\frac{c_k}{r_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k}}\pm ur_{n+2}\sqrt{\frac{2n}{n-1}}\etiqueta{21} $$ o, equivalentemente, el uso de Soddy-Gosset y el Corolario en $\mathbb{R}^{n-1}$$\mathrm{(15b)}$, $$ \frac{c_{n+2}}{r_{n+2}}=\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\frac{c_k}{r_k}\frac1{r_k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{r_k}}\pm u\sqrt{\frac{2n}{n-1}}\etiqueta{22} $$ donde $u$ es un vector unitario perpendicular al plano que contiene a $\{c_k:1\le k\le n+1\}$.