¿Cuándo es $4n^4+1$ ¿Primero?

Question

Encontrar todos los números naturales $n$ tal que $4n^4+1$ es primo. $4n^4+1$ es obviamente primo cuando $n=1$ . Pero, ¿podemos demostrar que no hay ningún otro $n$ ¿funciona?

Answer 1

Es $$4n^4+1=(2n^2)^2-2\cdot 2n^2+1+2\cdot 2n^2=(2n^2+1)^2-4n^2=(2n^2+1-2n)(2n^2-1-2n)$$

Answer 2

Esta es otra de esas preguntas para las que Wolfram|Alpha, factordb.com y Sloane's OEIS pueden indicarle la respuesta.

En Wolfram|Alpha, intente Select[4Range[50]^4 + 1, PrimeQ] . Hmm, sólo 5. Amplía el rango: Select[4Range[0, 199]^4 + 1, PrimeQ] . Nuevamente, sólo 5. (No necesitamos mirar el negativo $n$ porque $n^4$ será positivo de todos modos).

En factordb, asegúrese de utilizar * el analizador sintáctico probablemente no entenderá un operador de multiplicación tácito. Por lo tanto, la consulta 4 * n^4 + 1 y verás que la mayoría de estos números son divisibles por 5.

Pero no todos. Bastantes de ellos son el producto de exactamente dos primos distintos, ninguno de ellos 5, como 2501 y 1562501. ¿Qué ocurre aquí?

Por casualidad, ¿estás en una clase y la identidad de Sophie Germain se acerca? De AoPS :

El Sophie Germain Identidad afirma que $$a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab)$$

Recuerda que $1^4 = 1$ . Por lo tanto, $$4n^4 + 1 = 1^4 + 4n^4 = (1^2 + 2n^2 + 2n)(1^2 + 2n^2 - 2n)$$ $$ = (2n^2 - 2n + 1)(2n^2 + 2n + 1).$$

Y como se garantiza que el primer multiplicando es mayor que 1 para cualquier $n$ con valor absoluto superior a 1, y $(2n^2 - 2n + 1) < (2n^2 + 2n + 1)$ si $n > 0$ podemos concluir que $4n^4 + 1$ es el producto de al menos dos primos distintos, a veces con repetición, si $n < -1$ o $n > 1$ .

El caso $n = 0$ se comprueba con bastante facilidad. Aunque el 1 nunca ha sido un número primo, es posible que Sophie Germain no lo supiera. Eso no disminuye en absoluto su perspicacia.

Answer 3

Una pista:

$$2^{4m+2}n^4+1=(2n^{2m+1}+1)^2-(2^{m+1}n)^2$$

Aquí $m=0$

y $2n^2+1\pm2n=n^2+(n\pm1)^2$ son $>1$ para $n>1$