encontrar el mínimo valor de $x^2-6x+9+ \dfrac{64}{x^2}$

Question

Buscando una solución elegante.

Que puedo hacer por fuerza bruta, que es encontrar la derivada y el doble de derivados.

Todas las Ideas serán apreciados y probado por mí.

Answer 1

Deje $x=4+u$. Entonces es fácil ver $$ x^2-6x+9+\dfrac{64}{x^2}=5+\frac{u^2(u^2+10u+28)}{(u+4)^2}=5+\frac{u^2[(u+5)^2+3]}{(u+4)^2}\ge 5 $$ y el signo de igualdad ocurre si y sólo si $u=0$ o $x=4$. Por tanto, la función alcanza su min 5 al $x=4$.