Comprender los grupos cíclicos con las tablas de Cayley

Question

Pregunta. Dejemos que $G = \{a,b,c,d,f\}$ . Dado que $(G, \cdot)$ es un grupo cíclico con $G=\langle d \rangle$ y la tabla de Cayley:
\begin{array}{c|cc} \cdot & a & b & c & d & f\\ \hline a& c & a & f & b & d \\ b& a & b & c & d &f \\ c& f& c& d& a& b \\ d& b & d& a& f & c \\ f& d& f& b& c & a \end{array}

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Necesito completar esta tabla. Sé que el generador será todas las potencias de d tales que $d^1 ... d^4 G$ , donde $n Z$ . Lo que yo entiendo de esta afirmación es que cada fila y columna de d contendrá cada elemento de G sólo una vez.

Sé que los grupos cíclicos son abelianos, pero hasta ahora sólo he utilizado la propiedad conmutativa para rellenar 2 casillas.

¿Qué más necesito saber para rellenar la tabla?
Gracias.

Answer 1

Tenga en cuenta que $G$ tiene orden $5$ por lo que todos los elementos de $G$ que no sea $1$ , tener orden $5$ y en consecuencia, $x^5=1$ para todos $x\in G$ .

Usted tiene $d^2=f$ y $f^2=a$ Por lo tanto $d^4=a$ .

Entonces, desde $ad=b$ obtenemos $a^5=b$ pero $a^5=1$ Por lo tanto $b=1$ .

Desde $b=1$ tenemos $d\ne 1$ , por lo que el orden de $d$ debe ser $5$ .

Por lo tanto, los elementos $1,d,d^2,d^3,d^4$ son distintos, y comprenden todos los elementos de $G$ .

El único no identificado es $d^3$ que debe ser igual a $c$ .

Nota: La tabla muestra $df=c$ , por lo que podríamos haber encontrado $d^3=c$ de esa información, pero como muestra el argumento anterior, esa información es en realidad superflua. En otras palabras, si las dos entradas de $c$ en la tabla de productos fueron borrados, todavía podríamos haberlos deducido.

Para completar el resto de la tabla, los productos pueden evaluarse de la siguiente manera. . .

1. Expresar los factores como potencias de $d$ . $\\[4pt]$
2. Multiplica las potencias utilizando las leyes de los exponentes. $\\[4pt]$
3. Reducir el exponente del resultado, mod $5$ . $\\[4pt]$
4. Expresar el resultado como el elemento único del conjunto $\{a,b,c,d,f\}$ cuyo exponente, como potencia de $d$ , coincide con el exponente reducido obtenido para el producto.