Me pregunto lo siguiente: ¿Cuál es el número máximo de piezas que se puede obtener al cortar un $D$ -con un espacio de dimensiones $n$ ¿hiperplanos? La raíz de este cuestionamiento es que primero descubrí mientras estudiaba redes neuronales simples para la clasificación, que en 2D con 3 neuronas binarias de salida, donde la red es sólo un clasificador lineal (sin capa oculta), se puede obtener un máximo de 7 clases, y no 8 (número de combinaciones posibles de 3 dígitos binarios) como se esperaba.
Como se ve en la imagen, falta la clase 010. También puede darse el caso de que los tres puntos se crucen en el mismo lugar y sólo obtengamos 6 dominios, pero esto me interesa menos.
He tratado de entender lo que ocurre en dos dimensiones y he descubierto que se puede obtener el máximo $n+1$ nuevos dominios añadiendo una línea recta, donde $n$ diseña el número de líneas rectas existentes. Parece que funciona bastante bien, aunque no lo he probado (culpa mía):
Para todos los enteros $n$ , dejemos que $f(n)$ sea el número máximo de dominios que puede obtener con $n$ líneas rectas en un plano.
$$ \text{Conjecture:}~~~\begin{cases} f(0)=1\\ \forall n>0, ~~ f(n)=n+f(n-1) \end{cases} $$
Luego intenté ver cómo era el problema en dimensiones superiores, comenzando con planos en 3D, pero rápidamente se hizo difícil de esbozar en una hoja de papel. Definí otra función $f_D$ que describe el número máximo de dominios que se obtienen al cortar un $D$ -espacio dimensional con hiperplanos. A partir de dibujos a mano, obtuve la siguiente fórmula (que no es válida para $n=0$ más):
$$ \text{Conjecture:}~~~\forall D\in \mathbb N^*, ~~ \begin{cases} f_D(1)=2\\ \forall n>1, ~~ f_D(n)=n\cdot(D-1)+f(n-1) \end{cases} $$
Lo que se puede desrecursar (prueba fácil por inducción) en:
$$ \forall D, n\in \mathbb N^*, f_D(n)=\frac{n^2+n-2}{2}(D-1)+2 = \frac{n\cdot(n+1)}{2}(D-1)+3-D $$
¿Puede alguien probar o refutar ¿mi intuición? ¿O me dan pistas sobre cómo debería plantear el problema, o me indican soluciones existentes? Gracias de antemano.
