La normalización de estados cuánticos: ¿por qué?

Question

Todos aprendemos que los estados cuánticos deben ser normalizados, como los que están asociados a probabilidades que necesita para resumir para uno. Sin embargo, me gustaría saber si usted tiene cualquier otra razón válida para motivar a dicha normalización. ¿Tienes ejemplos en los que no normalizada de los estados dar lugar a situaciones paradójicas, excepto para las probabilidades de más de uno? Un escenario podría ser el caso de ecuaciones no lineal de Schrödinger (por ejemplo, Gross-Pitaevskii ecuación) no normalizado funciones de onda claramente dar lugar a resultados diferentes.

Answer 1

No hay ninguna razón en particular para normalizar el estado cuántico si usted acaba de definir, es decir, una expectativa de valor de algunos observables $A$, como

$$ \langle A \rangle := \frac{\left\langle \psi | A \psi \right\rangle}{\left\langle \psi | \psi \right\rangle}. $$

Esto es en realidad hace a menudo. Es sólo una simplificación y, por tanto, una sensata convenio para establecer $\langle \psi | \psi \rangle = 1$.

También, la ecuación de Schrödinger es lineal en la variable $\psi$, por lo que si tomamos como valor inicial $c \times \psi$, $c \in \mathbb{C}$, por lo que la solución también acaba de ser multiplicado por $c$ y nada de cambios físicos.

Decir algo acerca de ecuaciones no lineales como el de Gross-Pitaevskii ecuación, es correcto que usted tendría que corregir el término de interacción en esta ecuación por un factor de $1/c$ a de atención para la normalización diferente.

Answer 2

¿Tienes ejemplos en los que no normalizada de los estados dar lugar a situaciones paradójicas, excepto para las probabilidades de más de uno?

Yo no, pero tal vez el siguiente será de ayuda.

Si $\psi$ no está normalizado, pero es normalizable, realmente no hay problema - todos los funcionales de $\psi$ puede ser modificado para dar cuenta de la falta de normalización - a normalizar en el funcional de la fórmula.

Sin embargo, si $\psi$ no es normalizable para algunos región $\Omega$, esto significa que no podemos utilizar los Nacidos regla

$$ \frac{\int_{x\in \omega} |\psi(x) |^2 dx}{\int_{x\in\Omega} |\psi(x)|^2dx} = \text{probabilidad de partículas está en }\omega, $$ debido a que el denominador de la integral no existe o es infinito, así que uno tiene que adoptar algunas significado diferente para $\psi$, o uno decide tales $\psi$ no es admisible en cuanto al Nacido significado se utiliza. Por ejemplo, si $\Omega$ es todo el espacio infinito,

$$ \psi(x) = e^{ipx/\manejadores} $$ no es normalizable, por lo que no es aplicable como una Bornian descripción del sistema en el espacio. Sin embargo, si elegimos $\Omega$ a un volumen finito, digamos un cuadro, el psi por encima de la función se convierte en normalizable y es admisible. Así que el normalizability depende tanto de la configuración del espacio de la región como en la propia función.

Por otro lado, si tenemos algo así como la distribución delta de Dirac $$ \psi(x) = \delta(x-x_0) $$ esto no es normalizable, en el sentido de que el Nacido de la regla en absoluto. Puede ser utilizado como condición inicial para el Schr. la ecuación, pero la solución resultante $G(x,t)$ no es un realista psi función para todo el espacio infinito. Tiene otros usos - es la función de Green de la Schr. la ecuación para todo el espacio infinito.

Answer 3

Considere la posibilidad de un clásico problema dispersión: proyecto en el que, dicen, N partículas por segundo en un objetivo y contar el número de partículas dispersas en un ángulo sólido $d\Omega$: $dN\propto N$ por lo que la relación de $dN/N$ es siempre menor que 1. Referido a un objeto, es su probabilidad de ser esparcidos en $d\Omega$.

Ahora, en QM se observa superposiciones de estados de las partículas dispersadas. Implica la linealidad de su ecuación, una especie de ecuación de onda. La ecuación de onda de la solución debe ser normalizada con el fin de obtener el valor calculado en $dN$ sin ambigüedad. El resto es similar para el caso clásico: para una partícula que tiene la correspondiente probabilidad, pero la ecuación de movimiento debe admitir la superposición de las amplitudes (soluciones).

La tercera cosa es que siempre necesitamos muchas partículas para tener una estadística fiable y determinadas resoluciones judiciales, por lo que en realidad contamos el número de partículas (por segundo o el número total, lo que sea). Por lo tanto la probabilidad es sólo una parte de toda la imagen, lo que implica muchas-muchas de las partículas que intervienen en el fin de cubrir todos los rincones de la línea ondulada de la imagen. Ni clásica ni en la física cuántica de una partícula "experimento" es suficiente.