Número total de pares no ordenados de subconjuntos desunidos de S

Question

Deje $S = \{1, 2, 3, 4\}$. Encontrar el número total de pares no ordenados de distintos subconjuntos de a $S$.

Sé que la respuesta es $41$ ya que es resuelto en el libro como la expresión

$$\frac{3^4 -1}{2!} +1 \ .$$

Yo no podía conseguir a través de la solución de arriba, yo lo he solucionado haciendo un par de conjuntos. Por favor me ayudan a entender el camino por el que la cuestión ha sido resuelta en el libro.

Answer 1

Un par de subconjuntos disjuntos está formado por el examen de cada elemento de $S$ a su vez, y de decidir si ponerlo en un subconjunto, en el otro subconjunto, o en ninguno de los dos. Tres opciones para cada uno de los 4 elementos nos da el plazo $3^4$ como el recuento de todas las posibles ordenó pares de distintos subconjuntos que se pueden formar.

A contar sólo desordenada pares, necesitamos determinar cómo el grupo de cada par ordenado en clases de equivalencia. Ahora, cada par es uno de $2!$ permutaciones, excepto el par $\langle \varnothing, \varnothing\rangle$. ( El conjunto null es discontinuo con sí mismo, como $\varnothing \cap \varnothing =\varnothing$ )

Por lo tanto el conteo de pares no ordenados de subconjuntos disjuntos de a$S$: $\dfrac {3^4-1}{2!}+1$

Answer 2

Si S contiene 4 elementos, entonces cualquier elemento de S, tiene tres posibilidades, ya sea en Una o B o ninguno.por lo tanto cada uno tiene 3 opciones para 4 elementos que hemos 81 opciones.Son opciones para el par ordenado (a,B). Sólo un par se cuenta dos veces (¤,@).Los que no. De pares ordenados=81-1/2+1=41.