Las funciones continuas necesitan una pista.

Question

Tenemos funciones continuas$f,g:[0;\infty)->[0;\infty)$ con las siguientes propiedades:

1)$f(0)=g(0)=0$

2)$g(x)\neq0$, para cualquier$x>0$

3)$f(x+g(f(x)))=f(x)$, para cualquier$x$

Demuestre que$f(x)=0$ para cualquier$x$. Sólo necesito una pista de cómo empezar. Hasta ahora he intentado algo con una secuencia con términos positivos y límite$0$. Creo que de alguna manera tenemos que llegar a:$g(f(x))=0$ para cualquier x, de donde sigue la conclusión.

Answer 1

Deja que cualquier$x_0>0$. Demuestre que existe$x_1$ con$0<x_1\leq x_0$ tal que$x_1+g(f(x_1))=x_0$, usando el teorema del valor intermedio. Ahora deje que$u>0$ defina una secuencia$x_n$ con$x_0=u$ y$0<x_{n+1}\leq x_n$,$x_{n+1}+g(f(x_{n+1}))=x_n$, y estudie$x_n$, y$f(x_n)$

Answer 2

Lo hice funcionar asumiendo que hay un$x_0 > 0$ tal que$f(x_0) \neq 0$. Entonces, ¿qué te dice eso acerca de$f(x_0 + g(f(x_0)))$? Como puedes usar esto?