Alfabeto con 6 vocales y 12 consonantes, encuentra la cantidad de palabras sin dos consonantes en una fila.

Question

Acabo de tomar un examen y como de costumbre con los exámenes, las respuestas vienen a usted cuando usted es hecho con el examen y usted está sentado en su silla favorita en casa. Quiero verificar mi solución como parte de mi proceso de aprendizaje para aprender de mis errores en caso de que desee programar una resit

Considere la posibilidad de un alfabeto $A$ consta de $6$ vocales y de $12$ consonantes. Palabras válidas consisten en no hay dos consonantes seguidas, así AART no es válido, ni es JUDITH, pero JUDIT es buena, al igual AAR, como es AIAIAIAIAIAIAIAIAI. $a_n$ indica la cantidad de palabras válidas.

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a) encontrar la $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$

$a_0=1$, la palabra vacía

$a_1=12+6=18$ (una carta)

Para $a_2$ se considera las palabras como $AT$, $TA$, $IA$(diferentes vocales) y $AA$ (el mismo de las vocales)

$a_2= 2 \times 6 \cdot 12 + 5 \cdot 6 + 6=144 +30 +6=180$

Vamos a ampliar a tres símbolos mediante la adición de una vocal al final de una 2-letra de la palabra o por la adición de una vocal y consonante a una 1-letra de la palabra

$a_3=180 \cdot 6 + 6 \cdot 12 \cdot 18 =1080+1296=2376$

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(b) Encontrar una relación de recurrencia

(c) resolver

Hacer un caso distinción para la validez de la palabra de longitud $n$, termina en una consonante o en vocal. Si termina en consonante, se debe haber obtenido de una válida palabra de longitud $n-2$ mediante la colocación de una vocal seguida de una consonante detrás de él. En todas las demás situaciones, simplemente colocamos una vocal detrás de una palabra de longitud $n-1$.

Obtenemos $n\geq 2$: $$ a_n = 6 \cdot a_{n-1} + 6 \cdot 12 \cdot a_{n-2}$$ Uno puede comprobar que este hecho da $180$ para $a_2$.

Podemos resolver esta recursividad a través de un auxiliar de la ecuación de la forma:

$$ r^2 = 6r + 6 \cdot 16 $$ $$ r^2 - 6r - 6 \cdot 16 =0$$ Que factorises como:

$$ (r-12)(r+6)=0$$

Así, obtenemos las soluciones de $a_n = A r_1^n + B r_2^n$:

$$ a_n = A \cdot 12^n + B \cdot (-6) ^n$$

Ahora podemos conectar a nuestro condiciones iniciales $a_0=1$ e $a_1=18$ $$1=A+B$$ $$ 18= 12A - 6B=18A -6 \implies 18A=24 \implies A=\frac{4}{3}, B=-\frac{1}{3}. $$

Obtenemos:

$$ a_n = \frac{4}{3}\cdot 12^n -\frac{1}{3} (- 6)^n$$

Siento que esta es probablemente la correcta, pero no estoy seguro. Por favor alguien puede comprobar?

Answer 1

$$a_n=6a_{n-1}+6\cdot 12a_{n-2}$$ es correcta. A partir de esto se obtiene el polinomio característico $$ r^2-6r-6\cdot 12 $$ que factores como $$ (r-12)(r+6) $$ Tenga en cuenta que las raíces de esta se $r=12$ e $r=-6$. Aquí es donde usted salió mal; tenía las raíces como $r=12$ e $r=6$. La solución general es, por tanto, $$ a_n=A\cdot 12^n+B(-6)^n $$ y usted puede hacer el resto.

Answer 2

si hay $a_n$ n letra, $c_n$ terminan en una consonante y $v_n$ terminan en una vocal

$a_n = c_n + v_n$

Para hacer un tipo n+1, letra de la palabra, nos tomamos el a_n de la carta de las palabras y de la tachuela una carta en la final.

$a_n = 6c_n + 12 v_n\\ c_{n+1} = 12v_n\\ v_{n+1} = 6 c_n+ 6v_n = 6 a_n$

Probablemente podríamos acabar con $a_n$ y representan sólo con $c_n, v_n$

$\begin{bmatrix} c_{n+1}\\v_{n+1} \end {bmatrix} = \begin{bmatrix}0&12\\6 & 6\end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_{n}\\v_{n} \end {bmatrix}$

$\begin{bmatrix} c_{n+1}\\v_{n+1} \end {bmatrix} = \begin{bmatrix}0&12\\6 & 6\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix} c_{1}\\v_{1} \end {bmatrix}$

$\begin{bmatrix} c_{n+1}\\v_{n+1} \end {bmatrix} = \frac 13 \begin{bmatrix}1&-2\\1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}12^n&0\\ 0& -6^n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\-1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 12\\6 \end {bmatrix}$

$a_n = \frac {4(12)^n - (-6)^n}{3}$