Derivada covariante de un tensor simétrico.

Question

Suponga que un simétrica $(0,2)$ satisface
$$\nabla_iT_{jk}+\nabla_jT_{ik}+\nabla_kT_{ji}=0$$
donde $T=T_i^i$ es constante y $\nabla_jT_{ik}\ne 0$.
¿Cuáles son los valores de las constantes de la $a,b,c$ tales que $$a\nabla_iT_{jk}+b\nabla_jT_{ik}+c\nabla_kT_{ji}=0$$

Hay alguna diferencia si el tensor de la $T$ es el tensor de Ricci.

Creo $(a,b,c)$ donde $a=b=c$ son la única solución a esto sin embargo no pude probar ni para encontrar la solución.

Gracias de antemano.

Answer 1

Cuando $T_{ijk}:=\nabla_{i}T_{jk}$, luego de$$ T_{ijk} +T_{jki}+ T_{kij} =0 \ (A)$$

$$ aT_{ijk} +b T_{jki}+ cT_{kij} =0 \ (B)$$

Cuando $a=b=0$, a continuación, $T_{ijk}=0$.

Cuando $a=0,\ b,\ c\neq 0$, luego $T_{ijk}=C\cdot T_{jki},\ C\neq 0$. A continuación, $$T_{ijk}\{1+C+C^2\}=0$$de $(A)$ , de modo que $T_{ijk}=0$.

Cuando $a,\ b,\ c\neq 0$, a continuación, $(A),\ (B)$ implica que $(1-b/a)T_{jki} + (1-c/a)T_{kij}=0$. Por lo tanto $a=b=c$o $T_{ijk}=0$.

Answer 2

Me temo que no. Tome $T_{jk}=g_{jk}$ , donde $g_{jk}$ denota el tensor métrico con el que es compatible la conexión $\nabla$ . En este caso, $a$ , $b$ y $c$ podrían valorarse arbitrariamente, y $g_{jk}$ también difiere del tensor de Ricci.