$X'$ finito-dimensional implica$X$ finito-dimensional

Question

¿Cómo se podía demostrar, por cualquier normativa espacio de $X$ que si $X'$ es finito dimensionales, a continuación, $X$ es finito-dimensional? Aquí $X'$ denota el espacio de todos los funcionales delimitadas $f: X \to\mathbb F$

Si alguien me diera una pista, no hay necesidad de respuesta completa. Yo realmente no sé por dónde empezar.

Agradezco todas las respuestas.

Answer 1

Desde $X'$ es finito dimensionales podemos elegir una base $x_1', \cdots, x_n'$ de $X'$. Los vectores $(x_i'')_{i \in \{1, \cdots, n \}}$ definido por $x_i''(x_j') = \delta_{ij}$ son una base de $X''$. Esto significa $X''$ es finito dimensionales. La inclusión canónica $J: X \to X''$ definido por $$Jx: X' \to \mathbb{K}, \ (Jx)(x') := x'(x)$$ es inyectiva llegamos $\dim(X) \leq \dim(X'') < \infty.$

Answer 2

Me parece que la respuesta proporcionada por nuestro colega Eddie es bastante en la marca; la solución a este problema parece centrarse en dos aspectos esenciales: en primer lugar, que para finito dimensionales $Y$, $Y'$ es también finito dimensionales; en segundo lugar, el natural de asignación de $Y$ a su doble doble de la $Y''$ dado por la evaluación sobre los elementos de la $Y'$ es inyectiva; es decir, el funcional $\hat y \in Y''$ definido por

$\hat y(\phi) = \phi(y), \; \forall \phi \in Y', \tag 0$

es determinado únicamente por $y$; no hay ningún otro $z \in Y$ tales que

$\hat z(\phi) = \phi(y), \; \forall \phi \in Y'; \tag{0.1}$

estos dos principios se combinan para producir el resultado deseado, Eddie como se ha indicado, y como les comente en algún mayor detalle a continuación.

Lo que he hecho en la preparación de esta respuesta es para intentar expandir a partir de estos dos principios y entender cómo funcionan conjuntamente y solidariamente en algunos detalles, como mucho, por el bien de mi propio recuerdo como si nada. Así que esta respuesta puede ser un poco en el largo aliento lado, les agradezco a todos de antemano por su paciencia.

Ahora vamos a ver . . .

Para cualquier finito dimensionales normativa espacio de $Y$, $Y'$ es también finito dimensionales, con

$\dim Y' = \dim Y; \tag 1$

para dejar

$y_1, y_2, \ldots, y_n \in Y \tag 2$

ser una base; a continuación, establezca

$\phi_i \in Y', \; \phi_i(y_j) = \delta_{ij}, \; 1 \le i \le n; \tag 3$

para $y \in Y$ podemos escribir

$y = \displaystyle \sum_1^n \alpha_i y_i; \tag 4$

así, por $\phi \in Y'$,

$\phi(y) = \displaystyle \sum_1^n \alpha_i \phi(y_i); \tag 5$

Puedo reclamar

$\phi = \displaystyle \sum_1^n \phi(y_j) \phi_j; \tag 6$

para con $y$ , como en (4),

$\left (\displaystyle \sum_1^n \phi(y_j) \phi_j \right )(y) = \left (\displaystyle \sum_1^n \phi(y_j) \phi_j \right ) \left ( \displaystyle \sum_1^n \alpha_i y_i \right ) = \displaystyle \sum_1^n \phi(y_j) \phi_j \left ( \displaystyle \sum_1^n \alpha_i y_i \right )$ $= \displaystyle \sum_{i, j = 1}^n \phi(y_j) \alpha_i \phi_j(y_i) = \sum_{i, j = 1}^n \phi(y_j) \alpha_i \delta_{ij} = \sum_1^n \alpha_i \phi(y_i) = \phi(y), \tag 7$

muestra el $\phi_i$ span $Y'$; el $\phi_i$ también son linealmente independientes, por si

$\displaystyle \sum_1^n \beta_j \phi_j = 0, \tag 8$

con decir $\beta_k \ne 0$ hemos

$\beta_k \phi_k = -\displaystyle \sum_{i = 1, i \ne k}^n \beta_i \phi_i; \tag 9$

ahora bien, si aplicamos esto a $y_k$ encontramos

$\beta_k = 0, \tag{10}$

una contradicción. Por lo que el $\phi_i$ son de hecho linealmente independientes, y, como tales, forman una base para $Y'$; por lo tanto, (1) se mantiene.

Siguiente, reemplazando $Y$ con $Y'$ vemos que

$\dim Y'' = \dim Y'; \tag{11}$

ahora, considere el mapa

$Y \to Y'', \; y \to \hat y, \; \hat y(\phi) = \phi(y), \; \forall \phi \in Y'; \tag{12}$

Puedo reclamar $y \to \hat y$ es inyectiva; si

$\exists y \in Y, \; \hat y(\phi) = 0, \; \forall \phi \in Y', \tag{13}$

entonces

$\phi(y) = \hat y(\phi) = 0, \forall \phi \in Y'; \tag{14}$

así que tenemos que demostrar que

$\phi(y) = 0, \; \forall \phi \in Y' \Longrightarrow y = 0; \tag{15}$

esto se puede lograr a través de la de Hahn-Banach teorema; si $y \ne 0$ podemos considerar el subespacio

$\{0\} \ne \{\alpha y \} \subset Y; \tag{16}$

definir $\phi$ en este subespacio

$\phi(\alpha y) = \alpha \vert y \vert; \tag{17}$

entonces

$\vert \phi(\alpha y) \vert = \vert \alpha \vert y \vert \vert = \vert \alpha \vert \vert y \vert, \tag{18}$

lo que muestra que $\phi$ está delimitada en $\{\alpha y \}$ con enlazados $\vert y \vert$ (nota $\vert \phi y \vert = \vert y \vert$); por lo tanto $\phi$ puede ser extendido a $Y$ con el mismo límite; pero luego tenemos a $\phi \in Y'$ con $\phi(y) \ne 0$; esta contradicción demuestra (15). Por lo tanto, $y \to \hat y$ es inyectiva.

Por lo tanto,

$\dim Y \le \dim Y'' = \dim Y'. \tag{19}$

Answer 3

He aquí un boceto:

Supongamos $X$ tiene un infinito de base, a decir de cardinalidad $\alpha$. Esta elección de la base de que ahora se produce un homomorphism $X\to X'$. La imagen en el mapa de $X\to X'$ de esta base todavía es linealmente independiente. (Usted necesita mostrar que este mapa está bien definido y inyectiva, en el finito dimensionales este caso los rendimientos de la base dual.) Así, cada base de $X'$ tiene al menos cardinalidad $\alpha$, lo que contradice el hecho de que $X'$ es finito-dimensional.

Answer 4

Desde que pidió una pista: con el objetivo de una contradicción, supongamos que $X$ era finito-dimensional. Deje $B = (b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ser una contables de la colección de la linealmente independientes elementos de $X$ con $\|b_n\| = 1$ para $n \in \mathbb{N}$. Ahora, la construcción de una contables de la familia de la linealmente independientes de las funciones de $f_n \in X'$ mediante la prescripción de sus valores en $B$.