Calculando ángulos, ¿cuál es mi error?

Question

Deje $C[a,b]$ ser el espacio de todas las funciones continuas $[a,b]\rightarrow \mathbb R$. Entonces, funcional

$$||f||=\int^b_a|f(x)| dx$$

Claramente satisface todos los axiomas de una norma, con su correspondiente producto escalar dado por: $\left<f,g\right>=\frac12(||f+g||^2-||f||^2-||g||^2)$

A continuación, $\frac{\left<f,g\right>}{||f||\cdot||g||}$ debe dar el ángulo entre $f$ ang $g$. Pero, si $f,g>0$, tenemos:

$\left<f,g\right>\overset{def}=\frac12((\int^b_af(x)+g(x) dx)^2-(\int_a^b f(x) dx)^2-(\int_a^bg(x) dx)^2)=\int_a^bf(x)dx\int_a^bg(x)dx$

$||f||\cdot||g||\overset{def}=\int_a^b f(x) dx \int_a^bg(x) dx$

$\frac{\left<f,g\right>}{||f||\cdot||g||}=1$

Así que eso significaría que todos los continouous funciones con valores positivos son paralelos el uno al otro en esta norma, lo cual es un disparate.

Dónde está mi error? ¿Cómo puedo calcular correctamente los ángulos en $(C[a,b],||\cdot||)$? Sé que el error debe ser algo trivial, pero yo no lo encuentro.

Edit: Vamos A $v,w \in V: ||v||=||w||$. Sé que el elemento de $\text{span}(v)$ más cercano a $w$ es en la forma $\theta v$, $\theta \in [0,1]$. Si el producto escalar no es de fiar opción, lo que es una manera de encontrar la $\theta$?

Answer 1

No toda norma es compatible con un producto interior, y que ha descubierto un ejemplo.

He aquí un sencillo pero muy estrechamente relacionadas con el ejemplo. Definir el sup norma en $\mathbb R^2$: $$\|(x,y)\| = |x| + |y| $$ Supongamos que uno adopta la misma fórmula para el producto interior de dos vectores como se indica en su pregunta. Si, a continuación, tomar dos positivos vectores $\vec v_1 = (x_1,y_1)$ e $\vec v_2 = (x_2,y_2)$, del mismo modo, descubrir que la cantidad de $\frac{\langle \vec v_1,\vec v_2 \rangle}{\|v_1\| \|v_2\|}$ se porta mal.

Usted puede ver lo que está sucediendo en un geométricas nivel mediante el examen de la unidad de la bola de la norma $\|(x,y) \| = |x| + |y|$: es un diamante, no de una elipse, como sería si se define por una positiva definida interior del producto. En una expresión algebraica nivel, la explicación es que su producto interior no es bilineal, como se dice por @csprun.

Answer 2

Se le cayó valores absolutos en su cálculo de $\langle f,g\rangle$ e $||f||\cdot||g||$, pero cuando se los pone en, el producto escalar no es bilineal, que es un problema. Y si desea salir de ellos, entonces no es positivo-definida: $$||f|| = \sqrt{\langle f,f \rangle} = \sqrt{\left(\int_a^b f(x) \, dx\right)^2} = 0$$ no implica $f=0$.

Quizás desee $$||f|| := \int_a^b f(x)^2 \, dx$$ y $$\langle f,g \rangle := \int_a^b f(x)g(x) \, dx.$$

Answer 3

El producto escalar que usted introduce no es un producto escalar.