Suma de$\ln{(2)}$

Question

Tengo esta suma. ¿Cómo puede esta suma ser igual a $8\ln{(2)}?$?

PS

He intentado expandir la suma pero es demasiado desordenada. Tratando la suma en esta forma, no tengo ni idea.

Alguna ayuda.

Answer 1

Primero note que \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{n}\left[\frac{35n-37}{(2n-1)(n-1)^2}+\frac{35n+37}{(2n+1)(n+1)^2}\right]\\ &=&\frac{74}{n}+\frac2{(n+1)^2}-\frac2{(n-1)^2}+\frac{41}{n+1}+\frac{41}{n-1}-\frac{156}{2n+1}-\frac{156}{2n-1} \end {eqnarray *} y \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n-1}=\ln2,\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}=1-\ln2,\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}=-\frac12+\ln2,\\ &&\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n-1}=\frac{4-\pi}{4},\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac{-8+3\pi}{12},\\ &&\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\bigg[\frac2{(n+1)^2}-\frac2{(n-1)^2}\bigg]\\ &=&2\sum_{n=1}^{\infty}\bigg[\frac1{(2n+1)^2}-\frac1{(2n-1)^2}\bigg]-2\sum_{n=2}^{\infty}\bigg[\frac1{(2n)^2}-\frac1{(2n-2)^2}\bigg]\\ &=&-2+\frac12=-\frac32. \end {eqnarray *} Luego puede ponerlos para dar la respuesta.