¿Existe una descripción constructiva de tipo en la categoría de homotopía estable p-local?

Question

El título prácticamente resume - pero te voy a dar un poco de fondo.

En el p-local estable homotopy categoría (básicamente uno se localiza fuera de la torsión de los espectros de los que no son p-torsión) el Morava K-teorías son un entero no negativo indexado de la familia de los espectros (moralmente son residuos de objetos o "homológica de fibra de functors") que clasifican el grueso de las subcategorías de SH^{(fin)_p el p-local estable homotopy categoría de finito de los espectros. En esta clasificación se asigna a cada uno de los p-local finito espectro de un tipo (es decir, el menor espesor de la subcategoría que se produce en).

Que yo sepa las únicas definiciones de tipo directamente en este camino a través de la Morava K-teorías o en términos de periódico auto mapas que todavía están realmente en términos de Morava K-teoría.

Hay una más "constructivo" de la definición del tipo? Por ejemplo, se puede determinar el tipo de un p-local finito espectro en términos de lo mal que la obstrucción a la generación de la totalidad de SH^{(fin}}_p es? Realmente me gustaría ser feliz con cualquier respuesta que era algo más constructivo o para averiguar que la pregunta está abierta/ridículo.

Ahora, permítanme explicar un poco la motivación para esta pregunta, y cómo surgió. Uno puede ver el Morava K-teorías (como he mencionado anteriormente) como residuo de objetos/homológica de fibra de functors (el término homológica de fibra functor tiene menos de geometría algebraica sesgo y los sonidos más fresco) en el sentido de que su comportamiento es análogo al de los residuos campos de puntos en la derivada de la categoría de cuasi-coherente de los módulos en un esquema (para estar seguro que uno debe realmente tomar la derivada de la categoría de O_X-módulos con cuasi coherente cohomology) y con \kappa-módulos en modular teoría de la representación. Es decir, que todos dan tensor de functors a algunas sabor de graduados espacio vectorial categoría que clasificar gruesa subcategorías.

El mod n Moore espectros son `Koszul de los objetos que queremos ver como los análogos de la habitual Koszul complejos en un esquema y de Carlson módulos en modular representante de la teoría. En otras palabras, una Koszul objeto es un cono de algunos (posiblemente gradual y tal vez también trenzado) elemento de la endomorfismo anillo del tensor de la unidad de nuestra categoría.

Ahora uno puede asociar algunos geometría a un biexact producto tensor (por biexact producto tensor quiero decir monoidal simétrica estructura que es exacta en cada una de las variables, no hay decencia supuestos o extra axiomas respecto a la compatibilidad con la triangulación necesaria) en una de esencialmente los pequeños nidos categoría. Es posible cocinar una localmente anillado espacio asociado a una categoría de producto tensor (esto es obra de Pablo de Balmer). En los dos algebraica de los casos, categorías derivadas de los esquemas y categorías estables en modular rep teoría, se obtiene (con algunas leves hipótesis en la geometría algebraica caso) el esquema o recupera la proyectiva de apoyo a la variedad. Esto viene abajo, en cierto sentido, el hecho de que el Koszul objetos de determinar la topología, o, equivalentemente, que determinan el espesor de las subcategorías en algún sentido.

Esta falla para el estable homotopy categoría de finito espectros (tanto a nivel mundial y p-local). El mod n Moore espectros no son suficientes -, uno necesita el Morava K-teorías. Localmente anillado espacio que uno obtiene no es un esquema (ni algebraica de espacio). Entonces, uno puede preguntar si hay "global", razón por la que esto ocurre (aunque no es del todo una sorpresa) que el hecho de que el Morava K-teorías se acaba de generar subcategorías p-a nivel local. Esto es motivado parcialmente por intentar comprender el fracaso de un determinado mapa comparativo de ser inyectiva (que no he mencionado - que sería interesante tener un buen criterio para su inyectividad y yo actualmente sólo tienen bastante difícil de comprobar), y para tener alguna idea de cuáles son las propiedades que pueden causar los asociados localmente anillado espacio a no ser algebraicas (lo que uno realmente necesita más ejemplos calculados para esto y no he encontrado el tiempo, sin embargo, por desgracia).

Así que, básicamente, creo que si hubo alguna definición de tipo que dejó en claro el fracaso de no ser capaz de reducir el tipo de toma de triángulos y las suspensiones (o algo más que sólo el residuo de objetos) que puede ser muy esclarecedor. En particular, en general uno no esperaría que para producir una expresión algebraica gadget de topológico, triangula la categoría (en el sentido de Schwede ). Es por eso que he mencionado el problema con la extensión como si topologicalness proporcionado algunas mundial de la obstrucción Koszul objetos siendo suficiente que sería muy interesante.

Que se hizo muy largo espero que sea interesante o útil.

Answer 1

Mi teoría sobre esto, que podría estar equivocado, es que si el estable homotopy de la esfera (independientemente de las palabras "esfera" y "estable homotopy" significa en su situación) es Noetherian conmutativa, a continuación, escriba debe ser determinado por el primer ideales en el establo homotopy de la esfera.

Por ejemplo

1. D(R). Estable homotopy es la homología, la esfera es R. Si R es Noetherian conmutativa, el tipo de X se determina por ann H_* X. Este es el Hopkins gruesa subcategoría teorema.

2. Stmod(kG). Este es un poco confuso, porque estables homotopy es realmente Tate cohomology, que nunca es Noetherian. Pero el grupo de cohomology es Noetherian, y Stmod(kG) es sólo una localización de D(kG). La esfera es k. Así que debemos esperar que el tipo de M para ser determinado por ann [k,M] en D(kG), que es algo así como la de Benson-Carlson-Rickard teorema.

3. Estable homotopy categoría. Aquí el homotopy de la esfera, lejos de Noetherian, por lo que no puede esperar que el tipo de ser determinado por la homotopy de la esfera. Allí están "incrustados de los números primos"; el primer ideales en la categoría " no visible en la homotopy de la esfera. Matar a p, y un nuevo primer ideal aparece que anteriormente no fue visible.

Answer 2

Aplicando el grueso de la subcategoría teorema usted puede venir para arriba con un montón de nuevas definiciones de "tipo", pero es algo insatisfactorio porque el hecho de que cualquiera de ellos son equivalentes no es muy evidente. Usted puede robar varios de Ravenel del libro naranja. Estos incluyen condiciones como las condiciones en MU-homología o BP-homología de X que eleva las condiciones de la K(n)-homología, o condiciones sobre qué tipo de endomorphisms existen en el centro de el) se califica el endomorfismo anillo de X, o que las condiciones en el grueso de la subcategoría de la p-local estable homotopy categoría que X genera (genera todos los espectros de tipo >= n), o en la pendiente de los más pequeños de fuga de la línea de la Adams espectral de la secuencia de la computación de la homotopy grupos de X, etc, etc.

No estoy seguro de lo que significa el potencial de factorizations que usted propone. Por ejemplo, un espectro Y de tipo mayor que cero es aniquilada por algunos de potencia de p, por lo que cualquier mapa de factores X a través de un cono de X/p^n, y hay más factorizations a través de los conos más allá de eso. Sin embargo, para definir lo que quiero decir con estos conos necesito decir algo acerca de lo que un tipo-n de auto-mapa está en el primer plano, y no estoy seguro de cómo hacer que a partir de primeros principios.

Espero ver más detalles y si me pueden decir algo más específico, a continuación, voy a intentarlo.