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$$ \begin{align} \int_{0}^{1} t^2 \sqrt{(1+4t^2)}dt&=\int_{0}^{1} \frac{\tan^2(u)}{4} \sqrt{1+\tan^2(u)}\frac{1}{2}\sec^2(u)du\\ &=\frac{1}{8}\int_{0}^{1} \tan^2(u)\sec^{3}(u)du\\ &= \frac{1}{8} \int_{0}^{1} (\sec^2(u) - 1)(\sec^{3}(u))du\\ &=\frac{1}{8}\int_{0}^{1} \sec^5(u)du - \frac{1}{8} \int_{0}^{1}\sec^3(u)du \end {align} $$

¿ahora que?

Answer 1

Para el cálculo de la integral en cuestión considerar en primer lugar que $$\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1,$$ so $$\cosh^2(x)=1+\sinh^2(x).$$

Haciendo la sustitución de $t=\frac{\sinh(x)}{2},$ entonces $4t^2=\sinh^2(x),$ y obtenemos $dt=\frac{\cosh(x)}{2}dx$

$$\int t^2 \sqrt{(1+4t^2)}dt=\frac{1}{8}\int{\sinh^2(x)}\sqrt{1+\sinh^2(x)}\cosh(x)dx$$

$$=\frac{1}{8}\int{\sinh^2(x)}\cosh^2(x)dx=\frac{1}{8}\left(\frac{1}{32}\sinh(4x)-4x\right) +C.$$

Os dejo el cambio de parámetro para $t=0$ e $t=1$ a que termine.

Answer 2

Sustituimos $$t=\frac{\tan(u)}{2}$$ then$$dt=\frac{\sec^2(u)}{2}du$ $ y $$\sqrt{4t^2+1}=\sqrt{\tan^2(u)+1}=\sec(u)$ $ y nuestra integral será $$\frac{1}{2}\int\frac{1}{4}\tan^2(u)\sec^3(u)du$ $ y esto es $$\frac{1}{8}ßint\sec^3(u)(\sec^2(u)-1)du$ $ y luego necesitamos el fórmula $$\int\sec^m(u)du=\frac{\sin(u)\sec^{m-1}(u)}{m-1}+\frac{m-2}{m-1}\int\sec^{m-2}du$ $

Answer 3

Insinuación. yo diría

$\int \sec^5u\,du = \int\frac{\cos u\,du}{\cos^6u}=\int\frac{\cos u\,du}{(1-\sin^2u)^3}$ y después de la sustitución

$\sin u = v,\quad \cos u \,du = dv$

Será una parte integral de la función racional.

Editar:

Agregaré: La integral dada es la llamada integral binomial con una solución específica. Ver

http://www.nabla.hr/CL-IndefIntegralB5.htm

Answer 4

$$ \begin{align} \int t^2 \sqrt{(1+4t^2)}dt&=\frac{1}{8}\int{\sinh^2(x)}\sqrt{1+\sinh^2(x)}\cosh(x)dx\\ &=\frac{1}{8}\int{\sinh^2(x)}\cosh^2(x)dx=\frac{1}{8\times 32}\left(\sinh(4x)-4x\right) +C \\ &= \frac{1}{256}\left((4\sinh(x)\cosh^3(x) + 4\sinh^3(x)\cosh(x)) - 4x\right) + C\\ &=\left[\frac{1}{256}\left((4(2t)(\sqrt{1+4t^2})^3 + 4(2t)^3\sqrt{1+4t^2}) - 4\sinh^{-1}(2t)\right)\right]_{0}^{1} \approx 0.6063 \end {align} $$