Encontrar si$\phi(t) = \frac{\cos(t)}{1 + t^4}$ es una función característica

Question

Consideremos una función: $$\phi(t) = \frac{\cos(t)}{1 + t^4} \tag{1}.$ $ ¿Cómo puedo verificar si $(1)$ es una función característica? Intenté usar el criterio de Polya. Lamentablemente no funciona aquí.

Answer 1

$\phi$ es claramente una función suave. El cálculo de la cuarta derivada muestra

$$\phi^{(4)}(0)=-23 <0.$$

Por los siguientes conocida sentencia, esto implica que $\phi$ no es una característica de la función.

Lema: Vamos a $f(t) = \mathbb{E}e^{itX}$, $t \in \mathbb{R}$, una característica propia de la función que es $4$ veces diferenciable. A continuación, el $4$th derivado $f^{(4)}$ satisface $$f^{(4)}(0) = \mathbb{E}(X^4) \geq 0.$$