Ejemplos de añadir una constante a la integración por partes.

Question

La fórmula para la integración por partes viene dada por $$ \int uv'=uv- \int u'v $$ Como la mayoría de ustedes saben. El resultado es invariable si usamos $v=v+c$ en lugar de $v$ donde $c$ es una constante arbórea. $$ \int uv'=u(v+c)- \int u'(v+c) =uv- \int u'v $$ Desde $ \int {u'c}=uc$ desde $c$ es constante. Mi pregunta es pedir ejemplos donde sea más útil usar $v+c$ en lugar de $v$ al integrarse por partes. Ejemplos concretos en los que $$ \int f(x)\, \mathrm {d}x = (x+c)f(x) - \int (c+x)f'(x)\, \mathrm {d}x $$ Es más fácil de integrar que $xf'(x)$ . Un ejemplo puede verse aquí

Evaluando $ \int_a ^b \arccos\left (x\,/ \sqrt {(a+b)x-ab\,}\, \right )\, \mathrm {d}x$ asumiendo $0<a<b$

Donde la integración fue más simple/limpia (tal vez no estrictamente más fácil) de elegir $v = x - ab/(a+b)$ en lugar de simplemente $x$ .

¿Existen otros ejemplos de casos en los que es más sencillo utilizar $v+c$ al integrarse por partes? ¿Cómo vería uno cómo elegir un accesorio $c$ ?

Answer 1

Puede ser útil en una situación como la siguiente.

Justificando eso $$ \int_ {0}^{ \infty } \frac { \sin x}{x} = \int_ {0}^{ \infty } \int_ {0}^{ \infty } \sin x \ e^{-xt} \ dt \ dx = \int ^{ \infty }_{0} \int_ {0}^{ \infty } \sin x \ e^{-tx} \ dx \ dt $$

$$ = \int_ {0}^{ \infty } \frac {1}{1+t^{2}} \ dt = \frac { \pi }{2}$$

no es trivial debido a que la integral iterada no converge absolutamente.

Pero si primero integras por partes y eliges $ \displaystyle \int \sin x \ dx = 1 - \cos x$ Entonces

$$ \int_ {0}^{ \infty } \frac { \sin x}{x} = \int_ {0}^{ \infty } \frac {1- \cos x}{x^{2}} \ dx = \int ^{ \infty }_{0} \int_ {0}^{ \infty } (1- \cos x) t e^{-tx} \ dt \ dx$$

$$ \int_ {0}^{ \infty } t \int_ {0}^{ \infty } (1- \cos x) e^{-tx} \ dx \ dt = \int_ {0}^{ \infty } t \Big ( \frac {1}{t} - \frac {t}{1+t^{2}} \Big ) \ dt$$

$$ = \int_ {0}^{ \infty } \frac {1}{1+t^{2}} \ dt = \frac { \pi }{2}$$

donde la justificación para cambiar el orden de la integración proviene del hecho de que el integrando es siempre no negativo (teorema de Tonelli).

Answer 2

Aquí hay un par de ejemplos sencillos en los que esto se aplica:

1) $ \int x \tan ^{-1}x\;dx$ , tomando $v= \frac {1}{2}x^2+ \frac {1}{2}$

2) $ \int x \ln (x+1)\;dx$ , tomando $v= \frac {1}{2}x^2- \frac {1}{2}$