¿Admite la categoría de anillos artinianos límites finitos?

Question

Dejemos que $\mathsf{Artin}$ sea la categoría de anillos artinianos, vista como una subcategoría completa de la categoría $\mathsf{CRing}$ de anillos. (Aquí "anillo" significa "anillo conmutativo con uno").

Pregunta 1. En $\mathsf{Artin}$ ¿admite límites finitos?

Como $\mathsf{Artin}$ tiene productos finitos, la pregunta 1 es equivalente a

Pregunta 2. En $\mathsf{Artin}$ ¿admitir ecualizadores?

Una pregunta estrechamente relacionada es

Pregunta 3. Dejemos que $A\to B$ sea el ecualizador en $\mathsf{CRing}$ de dos morfismos de $B$ a $C$ . Supongamos que $B$ y $C$ son artinianos. ¿Implica esto que $A$ ¿es artiniano?

El sí a la pregunta 3 implicaría el sí a las preguntas 1 y 2. [Edición: He cometido un error al afirmar implícitamente que el sí a la pregunta 3 sería inmediatamente implica que sí a las preguntas 1 y 2. Hay una sutileza que se me escapó, pero el comentario de Jeremy debajo de su respuesta resuelve también las preguntas 1 y 2. (También se me pasó eso, suspiro...)]

Esta respuesta de MooS implica que la categoría de noetheriano anillos hace no admiten límites finitos.

Answer 1

Hay un ejemplo en

Gilmer, Robert; Heinzer, William , Sustratos artinianos de un anillo conmutativo , Trans. Am. Math. Soc. 336, nº 1, 295-310 (1993). ZBL0778.13012 .

de dos subredes artinianas de un anillo artiniano conmutativo cuya intersección no es artiniana. Como la intersección es el pullback de los mapas de inclusión, esto responde a la pregunta.

Dejemos que $R=\mathbb{C}(x)[y]/(y^2)$ . Entonces $R$ es un álgebra bidimensional sobre $\mathbb{C}(x)$ y, por tanto, es artiniano.

Dejemos que $R_1=\mathbb{C}(x^2)+y\mathbb{C}(x)\subset R$ . Entonces $R_1$ es un álgebra tridimensional sobre $\mathbb{C}(x^2)$ y, por tanto, es artiniano.

Dejemos que $R_2=\mathbb{C}(x^2+x)+y\mathbb{C}(x)\subset R$ . Entonces $R_2$ es un álgebra tridimensional sobre $\mathbb{C}(x^2+x)$ y, por tanto, es artiniano.

Pero $\mathbb{C}(x^2)\cap\mathbb{C}(x^2+x)=\mathbb{C}$ Así que $R_1\cap R_2=\mathbb{C}+y\mathbb{C}(x)$ que no es artiniano, ni siquiera noeteriano, ya que $y\mathbb{C}(x)$ no está generado finitamente como ideal.