Factorizar polinomio con raíces reales y complejas.

Question

¿Cómo irías para encontrar las raíces del polinomio: $$x^4 +5x^3+4x^2+6x-4=0.

Intento formar dos cuadráticas, por ejemplo, $$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) y luego intenté expandir, recopilar términos semejantes y resolver los coeficientes simultáneamente, pero esto da como resultado un sistema de ecuaciones difícil.

Me preguntaba si había un mejor enfoque para esta pregunta.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Tenga en cuenta que $x^4-4=(x^2+2)(x^2-2)$ . Esto sugiere que podrías intentar expresar tu polinomio como $$(x^2+ax+2)(x^2+bx-2)=x^4+(a+b)x^3+abx^2+2(-a+b)x-4.$$ It is now easy to see that all it takes is to choose $a = 1$ and $b = 4$ .

Answer 2

Puesto que no hay racional de las raíces (racional de la raíz debe ser un divisor de a$4$), su intento de factorización como $$x^4 +5x^3+4x^2+6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$$ es una buena idea.

Sugerencia. Mediante la expansión de la derecha y por la comparación con el lado de la izquierda, tenemos que $bd=-4$. Suponiendo que $b$ e $d$ son enteros, por simetría, puede intentar las siguientes parejas: $$(b,d)\in\{(4,-1), (2,-2), (-4,1)\}$$ y, a continuación, resolver los correspondientes sistemas con respecto a los restantes coeficientes de $c$ e $d$.

P. S. Si usted es afortunado , usted comenzará con la pareja $(2,-2)$. Tenga cuidado sin embargo, existen polinomios, que son "similares" a una determinada, de tal manera que las otras parejas de trabajo:

i) $(4,-1)$ para $x^4+2x^2-5x-4=(x^2+x+4)(x^2-x-1)$.

ii) $(-4,1)$ para $x^4-4x^2+5x-4=(x^2+x-4)(x^2-x+1)$.

Answer 3

Me gusta la manera siguiente.

Para todo valor real de $k$ tenemos:

$$x^4+5x^3+4x^2+6x-4=\left(x^2+\frac{5}{2}x+k\right)^2-\left(\left(2k+\frac{9}{4}\right)x^2+(10k-6)x+k^2+4\right).$$ Ahora, vamos a elegir un valor de $k$, para que $2k+\frac{9}{4}>0$ e $$(5k-3)^2-\left(2k+\frac{9}{4}\right)(k^2+4)=0.$$ Fácil ver que $k=0$ es válido.

Por lo tanto, $$x^4+5x^3+4x^2+6x-4=\left(x^2+\frac{5}{2}x\right)^2-\left(\frac{9}{4}x^2-6x+4\right)=$$ $$=\left(x^2+\frac{5}{2}x\right)^2-\left(\frac{3}{2}x-2\right)^2=(x^2+x+2)(x^2+4x-2).$$ Puede usted terminar ahora?