Objetos proyectivos en la categoría de grupos finitos.

Question

Está claro que $1$ es un objeto proyectivo en la categoría de grupos finitos. ¿Hay otros?

Tenga en cuenta que el problema dual, para los objetos inyectivos, es comparativamente fácil (utilizando el teorema de Cayley).

Answer 1

No hay otros. He aquí una prueba con los hechos conocidos acerca de la cohomology de grupos finitos.

Deje $G$ ser un trivial finito grupo y deje $p$ ser un primer división de la orden de $G$. A continuación, hay un número finito de dimensiones (y por lo tanto finito) $\mathbb{F}_pG$-módulo de $M$ con $H^2(G,M)\neq0$. Un valor distinto de cero cohomology clase representa un no-división de extensión de la $1\to M\to\tilde{G}\to G\to1$.

Si la existencia de $M$ no se conoce, pero se cree que $H^k(G,\mathbb{F}_p)\neq0$ para algunos $k>0$, entonces se puede producir $M$ desde el trivial $\mathbb{F}_pG$-módulo de $\mathbb{F}_p$ por la dimensión del cambio. O para un determinado $M$, tomar una secuencia exacta $$0\to M\to P_1\to P_0\to\mathbb{F}_p\to0,$$ donde $P_1\to P_0\to\mathbb{F}_p\to0$ es un proyectiva de la presentación de la trivial $\mathbb{F}_pG$-módulo.