Límite de cálculo de la integral definida

Question

Necesito calcular: $$\ lim_ {x \ to \ infty} \ int_x ^ {x +1} \ frac {t ^ 2 +1} {t ^ 2 +20t +8} \, dt$$ The result should be $1$ .

¿Hay una manera más rápida que calcular la función primitiva?

Pensé en separarme a $\int_0^{x+1} -\int_0^x$ pero todavía no puedo pensar en la solución.

Answer 1

¿Por qué no aplicar el MVT? La integral es $$F(x+1)-F(x)=\frac{F(x+1)-F(x)}{x+1-x}=F'(x_0)$$ for an $x_0$ between $x$ and $x + 1$. Now $F '(x)$ certainly converges to $1$ if $x$ tiende al infinito.

Answer 2

Tenga en cuenta que \begin{align}\int_x^{x+1}\frac{t^2+1}{t^2+20t+8}\,\mathrm dt&=\int_x^{x+1}1\,\mathrm dt+\int_x^{x+1}\frac{-20t+7}{t^2+20t+8}\,\mathrm dt\\&=1-20\int_x^{x+1}\frac{t-\frac7{20}}{t^2+20t+8}\,\mathrm dt.\end {align} Entonces, todo lo que queda por demostrar es que $$\lim_{x\to\infty}\int_x^{x+1}\frac{t-\frac7{20}}{t^2+20t+8}\,\mathrm dt=0. ¿Puede tomarlo desde aquí?

Answer 3

Para $t > 8$ tienes:

PS

Por lo tanto, integrando esas desigualdades en $$0 \le 1 - \frac{t^2+1}{t^2+20t+8} = \frac{20t+7}{t^2+20t+8} \le \frac{20t+8}{t^2} \le \frac{21}{t}$ :

PS

demostrando que $[x,x+1]$ .

Answer 4

Para grandes valores de $x$, en el gráfico de $f(t) = \frac{t^2+1}{t^2+20t+8}$ [hacer esto mediante la búsqueda de $f'(t)$ y muestran que $f'(t)$ se aproxima a cero como $t$ enfoques infinito] es aproximadamente horizontal, de manera que el área representada por la integral es de aproximadamente un rectángulo con ancho de $(x + 1) - x = 1$ y la altura de la $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+20x+8}$, lo que se acerca a 1 como $x$ enfoques infinito.

Answer 5

Esta es una sencilla consecuencia de la definición de límite.

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Tenga en cuenta que el integrando $f(t)$ tiende a $1$ como $t\to\infty$ y, por tanto, corresponde a cada $\epsilon >0$ tenemos una correspondiente $M_{\epsilon} >0$ tales que $$1-\epsilon <f(t) <1+\epsilon$$ whenever $t>M_\epsilon$. Let $x>M_\epsilon$ and then integrating the above inequality with respect to $t$ in interval $[x, x+1]$ we get $$1-\epsilon <\int_{x} ^{x+1}f(t)\,dt< 1+\epsilon$$ whenever $x>M_\epsilon$ and thus by definition the desired limit is $1$.

No hay nada especial sobre el integrando y su límite y lo hemos demostrado anteriormente se puede resumir de la siguiente

Lema: Vamos a $f:[a, \infty) \to\mathbb {R}$ ser una función que es Riemann integrable en cada intervalo de tipo $[a, b]$ con $b>a$ y deje $f(x) \to L$ como $x\to \infty$. A continuación, $\int_{x} ^{x+1}f(t)\,dt\to L$ como $x\to \infty$.