¿Hay espacio no contratable tal que la suspensión$\sigma\colon \pi_k(X) \to \pi_{k+1}(\Sigma X)$ sea un isomorfismo para todos los$k$?

Question

¿Existe un camino conectado no contráctiles CW-complejo de $X$ tal que la suspensión de $\sigma\colon \pi_k(X)\to \pi_{k+1}(\Sigma X)$ es un isomorfismo para todos los $k$?

Si es así es que hay también un simplemente conectado ejemplo? O ¿existe un número finito de CW-complejo de $X$ con esta propiedad? Si no, entonces ¿existe un ejemplo con un número finito de celdas en cada una de las dimensiones?

Además otra pregunta interesante es si esto vale también para la suspensión de la $\Sigma X$.

Answer 1

Usted está pidiendo $X$ tal que la canónica mapa de $X \to \Omega(\Sigma X), x \mapsto (t \mapsto (x,t))$ es un débil homotopy de equivalencia (donde $\Sigma$ es la reducción de la suspensión y de la $\Omega$ es un bucle espacio).

Por un teorema de Bott–Samelson, la homología de $\Omega \Sigma X$ con campo de coeficientes es isomorfo a la libre álgebra asociativa en el espacio vectorial $\tilde{H}_*(X)$, el tensor de álgebra $T(\tilde{H}_*(X))$. Además de la canónica de mapa de $X \to \Omega \Sigma X$ induce la inclusión canónica $H_*(X) \to T(\tilde{H}_*(X))$ de homología. (Ver, por ejemplo, el Teorema 7.3.1 en Selick la Introducción a Homotopy Teoría.) Esta inclusión no es un isomorfismo, a menos $\tilde{H}_*(X) = 0$. De ello se desprende que en virtud de sus supuestos, $X$ es acíclico.

(Crédito debido a Mike Miller para los últimos pasos.) A continuación, $\pi_1(X) = \pi_2(\Sigma X)$ es abelian, por lo $\pi_1(X) = H_1(X) = 0$ por Hurewicz. Simplemente conectado acíclicos CW-complejo es contráctiles.