Un número real es racional si y sólo si su expansión decimal que termina o eventualmente se repite.
Lema: Cada primer $p \neq 2, 5$ divide un repunit.
La prueba del Lema:
Revisión de un primer $p \neq 2,5$. Deje $\textbf{A}$ el conjunto de repunits, por lo que
$$\textbf{A} = \left\{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n} 10^{k-1} \, \mid \, n \in \mathbb{N} \right\} = \left\{\frac{10^n -1}{9} \, \mid \, n \in \mathbb{N} \right\}$$
Considerar la repunits, modulo $p$. Desde $\mathbb{N}$ no es un conjunto finito, ni es $\textbf{A}$. Hay un número finito de restos modulo $p$ (específicamente, $p$ posibles restos).
Hay (infinitamente) más repunits de restos modulo $p$. Por lo tanto, no deben existir dos distintas repunits con el mismo residuo modulo $p$. Por lo $$ \exists \, a, b \in \textbf{A} \,\, \text{s.t.} \,\,\,\,\,\, a \equiv b \pmod{p}, \,\, a \neq b$$
Sin pérdida de generalidad, supongamos $a > b$.
Desde $a, b \in \textbf{A}$, $\exists \, x, y \in \mathbb{N}$ con $x > y$ tal que
$$a = \frac{10^x - 1}{9}$$
$$b = \frac{10^y - 1}{9}$$
Podemos sustituir en a $a \equiv b \pmod{p}$ para obtener:
$$\frac{10^x - 1}{9} \equiv \frac{10^y - 1}{9} \pmod{p}$$
$$\frac{\left(10^x - 1\right)-\left( 10^y - 1\right)}{9}\equiv 0 \pmod{p}$$
$$\frac{10^x-10^y}{9} \equiv 0 \pmod{p}$$
$$\frac{\left(10^y\right)\left(10^{x-y}-1 \right)}{9}\equiv 0 \pmod{p}$$
Sabemos que $p \nmid 10^y$, debido a $p$ no $2$ o $5$. Desde $\mathbb{Z}/p\,\mathbb{Z}$, el anillo de los enteros modulo $p$, no tiene divisores de cero (debido a que $p$ es primo),
$$\frac{10^{x-y}-1}{9}\equiv 0 \pmod{p}$$
Este es un repunit.
Desde nuestra elección de $p \neq 2, 5$ fue arbitraria, hemos demostrado que todos los primos que no es $2$ o $5$ divide un repunit. De ello se sigue que todos los primos que no es $2$ o $5$ se divide en nueve ocasiones un repunit (un entero positivo, cuyos dígitos son todos los nueves).
Tenga en cuenta que esta prueba se aplica a cualquier valor de $p$ (no necesariamente prime), de modo que $p$ no es divisible por $2$ o $5$. El paso de la ausencia de divisores de cero en $\mathbb{Z}/p\,\mathbb{Z}$ puede ser modificada a fin de indicar que el $\gcd\left(10^y, p\right) = 1$ al$2 \nmid p$$5 \nmid p$.
Cada número racional tiene una representación decimal que finaliza o eventualmente se repite.
Prueba:
Considere la posibilidad de un número racional positivo $N = r/s$$r, s \in \mathbb{N}$$\gcd(r,s) = 1$.
Si $s=1$, $N$ trivialmente tiene un decimal finito de expansión. Supongamos $s \neq 1$.
Deje $m_i$ ser enteros positivos y $q_i \in \mathbb{N}$ $n$ primos con $q_k < q_{k+1}$, de modo que
$$s = q_{1}^{m_1} \cdot q_{2}^{m_2} \cdots q_{n}^{m_n} = \displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n} q_{k}^{m_k}$$
Vamos a hacer el trabajo de casos en la factorización prima de $s$, el denominador de $N$.
- Caso $1$: $q_i$ sólo consisten en un $2$ y/o $5$.
En este caso, la expansión decimal de $r/s$ termina porque $N$ puede ser escrito como $M/\left(10^z\right)$ algunos $M, z \in \mathbb{N}$.
- Caso $2$: $q_i \neq 2, 5$ para todos los $i \in \mathbb{N}, \, 1 \leq i \leq n$
Como se señaló anteriormente (por debajo de la prueba del lema), cada número natural que no es divisible por $2$ o $5$ se divide en nueve ocasiones un repunit. Por lo tanto, en este caso, $s$ se divide en nueve ocasiones un repunit. Existen $x_0, y_0 \in \mathbb{N}$ tal que $$x_0 \cdot s = 10^{y_0}-1$$
$$ s = \frac{10^{y_0}-1}{x_0}$$
Ahora podemos reescribir $N$:
$$N = \frac{r}{s} = \frac{r \cdot x_0}{10^{y_0}-1}$$
Desde $r \cdot x_0 \in \mathbb{N}$, este es un entero positivo dividido por nueve veces un repunit. Sabemos que esto da una repetición decimal, con un período que divide $y_0$.
- Caso $3$: $q_i$ consistir en una mezcla de números primos igual a $2$ o $5$, y otros números primos.
En este caso, $N$ puede ser escrito como el producto de dos números racionales, llamarlos $N_1$$N_2$, que se ajustan casos $1$$2$, respectivamente. Luego existen, $M, z, r, x_0, y_0 \in \mathbb{N}$ tal que $$ N = N_1 \cdot N_2 = \frac{M}{10^z} \cdot \frac{x_0 \cdot r}{10^{y_0}-1}$$
$$ N = \frac{1}{10^z} \cdot \frac{M \cdot x_0 \cdot r}{10^{y_0} -1}$$
El factor de $1/\left(10^z\right)$ sólo cambia la representación decimal por $z$ lugares. El otro factor que debe ser una repetición de decimales con un punto que divide $y_0$. Por lo tanto, la expansión decimal de $N$ eventualmente se repite.
Por lo tanto, todo número racional tiene una representación decimal que finaliza o eventualmente se repite.
El contrapositivo de la declaración que acaba de probar muestra que el número encontrado es irracional. Si un número real ¿ no tienen una terminación o la eventual repetición de expansión decimal, entonces es no racional.
Tenga en cuenta que el contrario también es cierto: cada número decimal que finaliza o eventualmente se repite es un número racional. Esto es más fácil de probar.
El número que se encontró no era racional, no es un decimal finito, ni una eventual repetición de decimales.
Ejemplos bien conocidos de otros números reales que tienen los patrones predecibles pero no son racionales incluyen Champernowne del número y de Liouville constante.
