Ejemplos de mapa biyectivo de $\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$

Question

¿Podría alguien dar un ejemplo de un mapa biyectivo de $\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}$ ?

Gracias.

Answer 1

En primer lugar, hay que tener en cuenta que basta con encontrar una biyección $f:\Bbb R^2\to \Bbb R$ desde entonces $g(x,y,z) = f(f(x,y),z)$ es automáticamente una biyección de $\Bbb R^3$ a $\Bbb R$ .

A continuación, observemos que, dado que existe una biyección desde $[0,1]\to\Bbb R$ (véase el apéndice), basta con encontrar una biyección del cuadrado unitario $[0,1]^2$ al intervalo de la unidad $[0,1]$ . Por las construcciones del apéndice, no importa realmente si consideramos $[0,1]$ , $(0,1]$ o $(0,1)$ ya que hay biyecciones fáciles entre todas ellas.

Asignación del cuadrado de la unidad al intervalo de la unidad

Hay varias formas de proceder para encontrar una biyección del cuadrado unitario al intervalo unitario. Un enfoque es arreglar la técnica de "intercalación" que mencioné en los comentarios, escribiendo $\langle 0.a_1a_2a_3\ldots, 0.b_1b_2b_3\ldots\rangle$ a $0.a_1b_2a_2b_2a_3b_3\ldots$ . Esto no funciona del todo, como señalé en los comentarios, porque existe la cuestión de si representar $\frac12$ como $0.5000\ldots$ o como $0.4999\ldots$ . No podemos usar ambos, ya que entonces $\left\langle\frac12,0\right\rangle$ va a ambos $\frac12 = 0.5000\ldots$ y a $\frac9{22} = 0.40909\ldots$ y ni siquiera tenemos una función, mucho menos una biyección. Pero si elegimos arbitrariamente a la segunda representación, entonces no hay ningún elemento de $[0,1]^2$ que se asigna a $\frac12$ y si elegimos la primera no hay ningún elemento que esté mapeado en $\frac9{22}$ así que de cualquier manera no tenemos una biyección.

Este problema se puede solucionar.

(Al responder a esta pregunta, intenté muchas búsquedas en la web para tratar de recordar la solución, y me sorprendió la cantidad de fuentes que encontré que ignoraban el problema, ya sea por completo, o por la mano. Nunca lo encontré; tuve que recordarlo. Lamentablemente, no puedo recordar dónde lo vi por primera vez).

En primer lugar, nos ocuparemos de $(0,1]$ en lugar de con $[0,1]$ ; las biyecciones entre estos dos conjuntos son bien conocidas, o véase el apéndice. Para los números reales con dos expansiones decimales, como $\frac12$ , nos pondremos de acuerdo para elegir el que termine en nueves y no en ceros. Así, por ejemplo, representamos $\frac12$ como $0.4999\ldots$ .

Ahora, en lugar de intercalar dígitos sencillos, dividiremos cada número de entrada en trozos, donde cada trozo consta de algún número de ceros (posiblemente ninguno) seguido de un solo dígito distinto de cero. Por ejemplo, $\frac1{200} = 0.00499\ldots$ se divide como $004\ 9\ 9\ 9\ldots$ y $0.01003430901111\ldots$ se divide como $01\ 003\ 4\ 3\ 09\ 01\ 1\ 1\ldots$ .

Esto está bien definido ya que estamos ignorando las representaciones que contienen secuencias infinitas de ceros.

Ahora, en lugar de intercalar dígitos intercalamos trozos . Para intercalar $0.004999\ldots$ y $0.01003430901111\ldots$ obtenemos $0.004\ 01\ 9\ 003\ 9\ 4\ 9\ldots$ . Esto es obviamente reversible. Nunca puede producir un resultado que termine con una secuencia infinita de ceros, y del mismo modo el mapeo inverso nunca puede producir un número con una secuencia infinita de ceros al final, así que ganamos. Un ejemplo de problema similar al de hace unos párrafos se resuelve como sigue: $\frac12 = 0.4999\ldots$ es la imagen única de $\langle 0.4999\ldots, 0.999\ldots\rangle$ y $\frac9{22} = 0.40909\ldots$ es la imagen única de $\langle 0.40909\ldots, 0.0909\ldots\rangle$ .

Esto es suficiente para responder a la pregunta planteada, pero voy a dar algunos enfoques alternativos.

Fracciones continuas

Según el documento " ¿Se sorprendió Cantor? " de Fernando Q. Gouveâ, Cantor intentó originalmente intercalar los dígitos él mismo, pero Dedekind señaló el problema de las representaciones decimales no únicas. Cantor cambió entonces a un argumento como el que Robert Israel dio en su respuesta, basado en representaciones de fracciones continuas de números irracionales. Primero construyó una biyección de $(0,1)$ a su irracional subconjunto (véase esta pregunta para el mapeo que utilizó Cantor y otros mapeos que funcionan), y luego de pares de números irracionales a un solo número irracional intercalando los términos de las fracciones continuas infinitas. Dado que Cantor trató con números en $(0,1)$ podía garantizar que todo número irracional tenía una representación de fracción continua infinita de la forma $$x = x_0 + \dfrac{1}{x_1 + \dfrac{1}{x_2 + \ldots}}$$

donde $x_0$ fue cero evitando el manejo de casos especiales para $x_0$ en la solución de Robert Israel.

Mapas Cantor-Schröder-Bernstein

El Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein toma una inyección $f:A\to B$ y una inyección $g:B\to A$ y construye una biyección entre $A$ y $B$ .

Así que si podemos encontrar una inyección $f:[0,1)^2\to[0,1)$ y una inyección $g:[0,1)\to[0,1)^2$ podemos invocar el teorema CSB y habremos terminado.

$g$ es bastante trivial; $x\mapsto \langle x, 0\rangle$ es una de las muchas inyecciones evidentes.

Para $f$ podemos volver a utilizar el truco de los dígitos intercalados, y no tenemos que ser tan cuidadosos porque sólo necesitamos una inyección, no una biyección. Podemos elegir la representación de los números de entrada de forma arbitraria; digamos que tomaremos el $0.5000\ldots$ representación en lugar de la $0.4999\ldots$ representación. Entonces intercalamos los dígitos de los dos números de entrada. No hay manera de que el resultado termine con una secuencia infinita de nueves, por lo que tenemos garantizada una inyección.

A continuación, aplicamos el CSB a $f$ y $g$ y hemos terminado.

Anexo

1. Existe una biyección desde $(-\infty, \infty)$ a $(0, \infty)$ . El mapa $x\mapsto e^x$ es un ejemplo.

2. Existe una biyección desde $(0, \infty)$ a $(0, 1)$ . El mapa $x\mapsto \frac2\pi\tan^{-1} x$ es un ejemplo, al igual que $x\mapsto{x\over x+1}$ .

3. Existe una biyección desde $[0,1]$ a $(0,1]$ . Tenga $0\mapsto \frac12, \frac12\mapsto\frac23,\frac23\mapsto\frac34,$ y así sucesivamente. Eso se encarga de $\left\{0, \frac12, \frac23, \frac34,\ldots\right\}$ . Para cualquier otro $x$ , solo mapa $x\mapsto x$ .

4. Del mismo modo, existe una biyección desde $(0,1]$ a $(0,1)$ .

Answer 2

En primer lugar, hay que tener en cuenta que la función exponencial es un mapa biyectivo de $\mathbb R$ a $(0,\infty)$ .
Ahora dejemos que $G$ sean los irracionales en $(0,\infty)$ . Me gustaría un mapa biyectivo de $(0,\infty)$ a $G$ . Se puede hacer de la siguiente manera: si $x = r \pi^n$ para algún entero no negativo $n$ y racional $r$ , dejemos que $f(x) = \pi x$ Si no es así $f(x) = x$ .

Por último, basta con encontrar un mapa biyectivo de $G^3$ a $G$ . Esto se puede obtener utilizando fracciones continuas. Cada $x \in G$ puede expresarse de forma única como una fracción continua infinita $x = x_0 + \dfrac{1}{x_1 + \dfrac{1}{x_2 + \ldots}}$ donde $x_0$ es un número entero no negativo y $x_1, x_2, \ldots$ son enteros positivos. Denotemos esto como $[x_0; x_1, x_2, \ldots]$ . A continuación, mapeamos $(x,y,z) \in G^3$ a $[x_0; y_0+1, z_0+1, x_1, y_1, z_1, \ldots]$ .