¿Por qué no se definen las funciones continuas al revés?

Question

La continuidad de la función $f:X\to Y$ de espacio topológico $X$ a $Y$ se define diciendo que para cualquier conjunto abierto $U_Y$, $f^{-1}(U_Y)$ también es un conjunto abierto.

Intuitivamente, esto me parece raro. Si interpretamos "conjunto abierto" informalmente como "un conjunto cuyos elementos son cercanos unos a otros" (de hecho se trata de un conjunto que es un barrio de todos sus elementos), entonces tiene sentido intuitivo para decir que una función continua $f$ es una función que no "rip elementos de distancia de sus vecinos", es decir, si la entrada de un conjunto abierto $U_X$ (un conjunto cuyos elementos son "cercanos unos a otros"), entonces esto no debe producir un conjunto donde algunos de los elementos que "no son cercanos el uno al otro", es decir, debe producir un conjunto abierto.

Entonces, ¿hay una explicación intuitiva en este nivel de abstracción (es decir, sin referencia a la métrica de los espacios, por ejemplo) de por qué no nos definir la continuidad como "para cualquier conjunto abierto $U_X$, $f(U_X)$ es un conjunto abierto"?

Answer 1

El problema con su intuición de que un "conjunto abierto" no es "un conjunto cuyos elementos son cercanos unos a otros". Por ejemplo, teniendo en cuenta los números reales con el estándar de la topología, el conjunto $(0, \infty)$ contiene elementos arbitrariamente lejos el uno del otro, mientras que $\{0\}$ contiene elementos muy cercanos el uno del otro.

Una mejor intuición es: un conjunto abierto $X$ es un conjunto tal que si $x \in X$, entonces todos los puntos que están cerca de la $x$ están también en $X$. Esto demuestra por qué el "adelante" definición " no funciona: sólo porque usted está tomando todos los puntos de cerca a algunos de los $x$, no significa que usted debe mapa sobre todos los puntos cercanos a $f(x)$ ; sólo significa que usted debe golpear solamente los puntos de cerca a $f(x)$. Pero, ¿qué golpear solamente los puntos de cerca a $f(x)$ significa? Esto significa que si usted toma todos los puntos de $U$ cerca de $f(x)$, a continuación, $f^{-1}(U)$ debe incluir todos los puntos cercanos a $x$.

Si intenta convertir las ideas en el párrafo anterior precisa y formal, usted puede terminar para arriba con el ordinario de la definición de continuidad.

Edit: a partir De los comentarios:

Yo todavía encontrar su intuición difícil de conciliar con la idea de "una función discontinua rip puntos de diferencia".

Echemos un vistazo a la inversa, y tome $f$ discontinua. De manera informal, esto significa que no se $x$, $y$, que están muy juntos, de tal manera que $f(x)$ e $f(y)$ no están juntos. (Por supuesto, para hacer de este formales, es necesario tomar al menos uno de $x$ o $y$ a ser una secuencia o incluso una red, etc.)

Mi intuición de un conjunto abierto dice: vamos a $X$ ser un conjunto abierto, entonces $x \in X$ si y sólo si $y \in X$. Ahora vamos a ver si el "avance de la definición de continuo" nos permite demostrar que $f$ es discontinuo. Tomemos cualquier conjunto abierto $X$. Si $x \notin X$ , a continuación, también se $y \notin X$, y esto no parece ir a ninguna parte. Así que echemos un vistazo a abrir $X$ con $x, y \in X$. A continuación, $f(X)$ también está abierta, y por lo tanto $f(x), f(y) \in f(X)$ , pero esto es precisamente no es lo que queríamos demostrar.

Ahora vamos a aplicar mi intuición a la "marcha atrás definición de continuo". Debido a $f(x), f(y)$ están muy separadas, existe un conjunto abierto que contiene a$f(x)$ pero no $f(y)$. Vamos a llamar a $Y$. Luego tenemos a $x \in f^{-1}(Y)$, pero $y \notin f^{-1}(Y)$. Por lo tanto $f^{-1}(Y)$ no es un conjunto abierto, y $f$ es discontinuo.

Answer 2

Útiles mapas son, en su contexto, aquellos que preservan la estructura. Una incrustación de los anillos es una función que asigna un anillo a otro. Un mapa entre espacios vectoriales es lineal. Mapas entre espacios topológicos son continuas.

Por qué? Bien. La estructura de un espacio topológico no es el espacio, o un subconjunto del espacio, sino más bien un conjunto de subconjuntos del espacio. Y la preimagen de función $f^{-1}\colon\mathcal P(Y)\to\mathcal P(X)$ respeta uniones e intersecciones (mientras que la imagen directa de la función de no respetar las intersecciones).

Así que, en cierto sentido, una función continua de $X\to Y$ está diciendo de un subespacio de $Y$ que en cierto sentido puede ser embebido en $X$.

Answer 3

Decir que "$\mathcal U=f^{-1}(\mathcal O)$ no está abierta" para el conjunto abierto $\mathcal O$ significa que el complemento de $\mathcal U$ se acerca a un punto de $x\in\mathcal U$.

Pero desde $\mathcal O$ está abierto, las imágenes de los puntos fuera de $\mathcal U$ aproxima $x$ no puede acercarse a la imagen de $x$. Por lo tanto $\mathcal O$ testigos que $x$ ha sido arrancadas de $\mathcal U^c$ por $f$.

La definición de éxito lleva a la intuición mencionar.... pero tal vez su "contravariantness" es de disparo hasta la aceptación de la intuición.

Answer 4

Lo que usted describe en su último párrafo se llama asignación abierta. Por ejemplo, cualquier continua bijective asignación de $f:X \to Y$ (entre espacios topológicos $X,Y$) es un homeomorphism iff $f$ es una asignación abierta.

Generalmente, los estudiantes de introducción a la continuidad en $\mathbb{R}$ la $\varepsilon,\delta$Definición que dice que una función real $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua en un punto a$\xi$ si para cada a$\varepsilon > 0$ hay un $\delta > 0$ s.t. $$ \vert x - \xi \vert < \delta \Rightarrow \vert f(x)-f(\xi) \vert < \varepsilon $$

Sin embargo, esta definición exige $\mathbb{R}$ a de un espacio métrico que es, por supuesto, pero si nos tomamos un espacio topológico $X$ donde una métrica no es necesario que exista tenemos una definición similar para la continuidad de una función en un punto dado, $\xi$ que es

$f:X \to X$ es continua en a$\xi \in X$ si para toda vecindad $V$ de $f(\xi)$ existe una vecindad $U$ de $\xi$ tal que $$ f(U) \subseteq V $$

que es exactamente lo que el $\varepsilon,\delta$-criterios en espacios métricos proporciona.

Ahora dadas estas definiciones siempre me pareció la idea general detrás del concepto de continouty a ser mucho más clara.

Por supuesto, la continuidad en cada punto equivale a la continuidad en general. Esta es la primera implicación:

Deje $f:X \to Y$ ser una asignación entre espacios topológicos $X,Y$. Deje $f$ ser continua en todos los $x \in X$ e $V$ un subconjunto abierto de $Y$ es decir $V \subset Y, V \in \mathcal{T}_Y$.

Desde $f$ es continua en todos los $x \in X$ sostiene que para cada $x_0 \in f^{-1}(V)$ existe una vecindad $U_{x_0}$ que contiene $x_0$ y, por tanto, un subconjunto abierto $\Omega_{x_0} \subset U_{x_0}$ (sigue de la definición de los barrios) que contiene a$x_0$ tal que $f(\Omega_{x_0}) \subset V$. Sin embargo lo que significa que por cada $x_0 \in f^{-1}(V)$ existe un subconjunto abierto $\Omega_{x_0}$ s.t. $\Omega_{x_0} \subset f^{-1}(f(\Omega_{x_0}))\subset f^{-1}(V)$ , pero luego se tiene que $f^{-1}(V)$ es un subconjunto abierto de $X$, lo $f^{-1}(V) \in \mathcal{T}_X$

Answer 5

Como usted sabe, hay varias formas equivalentes para definir los conceptos de espacio topológico y continuidad. Que la definición que se basa en conjuntos de "ganado" tiene probablemente dos razones: es técnicamente fácil de expresar y fue utilizado en el muy influyente Bourbaki libros.

En términos de la intuición prefiero otras formas de definir la continuidad. Yo específicamente como el basado en la "cercanía" que se describe aquí. Pero por supuesto, esto es equivalente a la definición basada en la inversa de la imagen de bloques abiertos.