¿Métodos conocidos para detectar singularidades coordinadas?

Question

La MOTIVACIÓN

En la geometría de Riemann, cuando uno escribe el tensor métrico en un determinado sistema de coordenadas, ciertos 'falso' singularidades podría parecer que poco tienen que ver con la geometría cerca de ellos.

Por ejemplo, en la esfera de la $S^2$, uno tiene (con el etiquetado adecuados)

$$ds^2 = d\phi^2 + \sin^2(\phi)d\theta^2$$

y así parece como si el esférico métrica es singular en $\phi = 0$ o $\phi = \pi/2$, pero sabemos que no lo es en realidad. Sin embargo, la única razón por la que sabemos que esto es debido a que tenemos otras descripciones de esta métrica que no están evidentemente singular en cualquier lugar.

El programa de INSTALACIÓN

Supongamos que usted tiene un suave colector (digamos tres dimensiones) $M$ y se le da un descripción local de una métrica

$$ds^2 = g_{ij}dx^idx^j$$

en una coordenada parche $U \subseteq M$. Si usted desea, usted puede asumir que esto $U$ es denso en $M$, como en la esfera. Supongamos que la métrica se ve singular cerca de los puntos en $M\backslash{}U$.

Aquí, me refiero a que el mismo tipo de singularidad como en la esfera, es decir, algunos crucial en términos de $g_{ij}$ desaparecen cuando salgan de $U$, por lo que la matriz de $[g_{ij}]$ cero determinante.

Pregunta: ¿cuáles son los métodos conocidos no sólo de detectar, pero en realidad, demostrando que la métrica es no singular y, por tanto, puede ser extendida a toda la $M$?

Answer 1

Creo que hay dos ligeramente diferentes preguntas aquí. La primera pregunta es la que específicamente se preguntó: Si se nos da el colector $M$ y una métrica definida en un denso coordinar gráfico de $U\subseteq M$, lo que es una condición suficiente para la métrica para tener una suave extensión a todos los de $M$? Esto básicamente es bastante fácil de responder: acaba de encontrar, para cada punto en $p\in M\smallsetminus U$, una suave gráfico en un vecindario $V$$p$, y transformar la métrica en las nuevas coordenadas en $V\cap U$. Si la transformada métrica se extiende suavemente a$V$, $p$ fue sólo una coordenada de la singularidad. Si $M$ es compacto, usted puede hacer esto con un número finito de gráficos, y, a menudo, un número finito de hacer en el noncompact caso así.

La más sutil pregunta que surge al $M$ no es conocido de antemano. En este caso, tenemos un suave métrica en un abrir colector $U$, y queremos saber si hay alguna suave colector $M$ correctamente contengan $U$ y un suave métrica en $M$ que se extiende la métrica determinada en $U$. (Cuando este es el caso, la métrica determinada en $U$ dijo ser ampliable.) Esto es mucho más difícil responder a esta pregunta. Hay algunos obvios condiciones necesarias para una métrica para ser extensible: por ejemplo, la métrica debe ser geodesically incompleta, y todas las curvaturas seccionales han de quedar limitada a medida que se aproxime al límite de $U$. Pero me sorprendería si hay cualquier simples condiciones suficientes.

Para ver cómo las cosas extrañas que se pueden obtener, deje $U$ ser la universalización de la cobertura de $S^2$ con los polos norte y sur eliminado, con la métrica obtenida tirando hacia atrás de la ronda estándar métrica a través de la proyección de $U\to S^2$. (Usted puede visualizar esto como una "infinita-toldo de piel de naranja.") A continuación, $U$ es diffeomorphic $\mathbb R^2$, y el retroceso de la métrica es incompleta y tiene constante de la sección transversal de la curvatura, pero no es ampliable.

Answer 2

Qiaochu comentario pierde el punto: Algunas medidas tienen cierto singularidades que no puede ser eliminado por un cambio de coordenadas.

Yo no sé acerca de general métrica espacios, pero en buena edad 4-D el espacio-tiempo, una condición suficiente para una verdadera singularidad de existir en el punto de $P$ es que el límite a medida que uno se acerca a la singularidad de la traza del tensor de Ricci va al infinito como uno de los enfoques $P$.

esta es una bastante potente de la prueba, pero no recuerdo si esta es también una condición necesaria; creo que es suficiente dado la diferenciabilidad de la métrica.

Resulta que no es suficiente (aunque para los Schwartzchild solución de esta escalar es $\frac{48G^2 M^2}{c^4r^6}$, por lo que hace, contrario a uno de los comentarios, decirte que la singularidad en $r=0$ es verdadera.) Para las métricas que son al menos semi-Reimannian, la condición necesaria y suficiente para la no singularidad es que en la Ricci Descomposición de la curvatura, todos los tres de los siguientes son no-singular: El escalar de curvatura (a mi criterio original); el semi-traceless parte del tensor de curvatura, y el totalmente traceless tensor de Weyl. Esto se aplica en cualquier número de dimensiones por encima de los 2. Creo que la carga de Kerr-Newman solución podría pasar el escalar de curvatura de la condición pero no la semi-traceless parte de la condición en el anillo de las singularidades.