Cómo hacer de este un estimador imparcial de$σ^2$

Question

Supongamos $X_1, X_2, . . . , X_6$ es una muestra aleatoria de una variable aleatoria normal con media µ y varianza $σ^2$ .

Determinar c, tales que c[$(X_1 − X_2)^2$ + $(X_3 − X_4)^2$ + $(X_5 − X_6)^2$] es un estimador imparcial de $σ^2$.

He intentado conseguir el segundo de los momentos de la $(X_i − X_j)$'s y, a continuación, utilizar estos y resuelve para c

Hasta ahora me las arreglé para encontrar a $E[X_i − X_j]$ = µ-µ = 0 y $Var[X_i − X_j]$ = $Var[X_i]$ + $Var[X_j]$ - 2$Cov[X_i,X_j]$ = 2$σ^2$- 2$Cov[X_i,X_j]$

Así $E[(X_i − X_j)^2]$ = 2$σ^2$- 2$Cov[X_i,X_j]$

o

$E[(X_i − X_j)^2]$ = 2$σ^2$+2$µ^2$ - $E[X_iX_j]$

¿Alguien tiene consejos sobre cómo avanzar a partir de aquí, no hay ninguna mención en la pregunta que la muestra se yo.yo.d

Answer 1

Calculemos$$\mathbb E[(X_1 − X_2)^2] = \mathbb E[X_1^2] + \mathbb E[X_2^2] - \mathbb 2E[X_1 X_2] = \mathbb E[X_1^2] + \mathbb E[X_2^2] - 2\mathbb E[X_1]\mathbb E[X_2] = 2(\sigma^2 + \mu^2) -2\mu^2 = 2\sigma^2.$ $ Por lo tanto, obtenemos$$c\cdot \mathbb E[(X_1 − X_2)^2 + (X_3 − X_4)^2 + (X_5 − X_6)^2)] = 3c\mathbb E[(X_1 − X_2)^2] = 6c\sigma^2 .$ $

Necesitamos$$6c\sigma^2 = \sigma^2 \implies c= \frac 1 6.$ $