$(X, T)$ es un espacio topológico infinito, y$C:= $ {{$x$}: {$x$}$∈T$}. $C$ es finito. ¿$Y:=X\setminus C$ Tiene algún singleton abierto si consideramos la topología del subespacio en$Y$?
¿Qué pasa si X es Hausdorff?
Respuesta
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Se puede, en general.
Deje $X$ $\mathbb{N}$ con la parte inferior de la topología: todos los conjuntos de $L_k = \{n \in \mathbb{N}: n \le k \}$$k \in \mathbb{N}$, además de los emptyset y $X$. A continuación, $0$ es el único punto aislado, sino en $X \setminus \{0\}$ tenemos un nuevo punto aislado $1$, (es homeomórficos a$X$!).
Si $X$ $T_1$ (para Hausdorff también va a hacer), entonces finita de conjuntos cerrados y, a continuación,$X \setminus C$, entonces es un (cerrado y abierto subconjunto de $X$, por lo que cualquier punto aislado de a $X \setminus C$ también habría sido uno de $X$ ("abierto abierto abierto"), que no puede ser.
Así que para $X$ $T_1$ la afirmación se sostiene, por el mero $T_0$ espacios como la parte inferior de la topología, este no necesita tener.
