¿Hay alguna forma elegante de probar formalmente que el anillo$\mathbb Z/(8)$ no se puede descomponer en un producto de anillos?

Question

Hasta ahora, mi idea es que: Como un aditivo grupo, $\mathbb Z/(8)$ es el grupo cíclico $\mathbb Z_8$. Así que para encontrar dos anillos que dan a un producto anillo que es isomorfo a $\mathbb Z_8$. El orden del producto anillo debe ser de 8.

Sabemos que $|H*K| = {|H| \; |K|}$. Como los factores de 8 1,2,4,8, y no podemos involucrar a la trivial anillo, tenemos que intentar grupos de orden 2 y de orden 4.

Sólo hay una estructura de grupo de orden 2:$\mathbb Z_2$.

Pero hay dos estructuras de grupo de orden 4: $\mathbb Z_4$ y el Klein cuatro grupo. Ninguno de estos $2$ grupos nos da un grupo cíclico de orden $8$.

Por lo tanto el $\mathbb Z_8$ no se puede descomponer en el producto de 2 anillos.

Pero me parece que este método tedioso...

Podría alguien dar una más sencilla y que mejor manera de demostrarlo? Muchas gracias!

Answer 1

Mi forma favorita de hacer esto es que el anillo de descomposición de un anillo corresponden a la central idempotents. Trivial descomposiciones corresponden a trivial idempotents.

En este caso, seis trivial cheques suficiente para probar que no puede ser descompuesto:

$$ 2^2\equiv 4\\ 3^2\equiv 1\\ 4^2\equiv 0\\ 5^2\equiv 1\\ 6^2\equiv 4\\ 7^2\equiv 1\\ $$

O, si eso es demasiado feo, piensa en lo que significaría para ser idempotente:

Si $8$ divide $x-x^2 = x(1-x)$ implicaría que $2$ se divide una de $x$ o $1-x$. Por supuesto que no se puede dividir, por lo que una vez que usted decide que uno es divisible por $2$, también es divisible por $8$ (y por lo tanto es cero en $\mathbb Z/(8)$.) En ese punto, usted sabe que uno de $x$ $1-x$ es cero y el otro es $1$.

Otra razón por la que este anillo no puede ser descompuesto es que es un anillo local, que es, tiene un único ideal maximal. Cualquier anillo con un nilpotent máximo ideal es local, y ese es el caso aquí.

Sin embargo, la comprobación de arriba funciona incluso para los anillos que no son locales, como parte integral de los dominios. (Y no siempre es necesario comprobar manualmente cada elemento como lo hice anteriormente.)

Answer 2

Para este caso particular, el orden de un elemento de$\mathbb Z_2\oplus H$ it como máximo 4:$$4(0,x)=(0,4x)=(0,0)$$ and $$4(1,x)=(0,4x)=(0,0).$ $

En$\mathbb Z_8$, el elemento 1 tiene orden 8. Por lo tanto,$\mathbb Z_8$ y$\mathbb Z_2\oplus H$ no pueden ser isomorfos.