Supongamos que AC. Deje que$x_\alpha$ sea un buen orden de$\mathbb{R}$. Para todos los$\alpha < \mathfrak{c}$, deje$F(x_\alpha) = x_{\alpha+1}$.
¿Se puede probar que$F$ es discontinuo en todas partes?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$F$ puede ser continua en algunos puntos, si bien el pedido se define de la manera correcta. Por ejemplo, elija su bien ordenar de manera que cada número real en $(0,1)$ es único límite ordinal en $c$. Es decir, si $T:\mathbb{R} \rightarrow c$ se asigna a cada elemento de a $x \in \mathbb{R}$ para el elemento $\alpha$ $c$ tal que $x_\alpha=x$, entonces queremos $x \in (0,1) \Rightarrow \alpha$ es un límite ordinal o 0.
No hay suficientes límite de los números ordinales para lograr esto, debido a que la cardinalidad de a $c$ es la cardinalidad de a $\mathbb{N} \times L(c)$ donde $L(c)$ es (el conjunto de todos los ordinales límite en $c$) $\cup$ 0. Por lo que el número de limitar los ordinales deben tener la misma cardinalidad como $c$, y la misma cardinalidad como (0,1).
Definir $T$, de modo que $T(x) = T(x-2)+1$ todos los $x \in (2,3)$. En este punto, $T$ todavía es inyectiva, porque $T(x-2)+1$ no es un ordinal límite.
Ahora extender $T$ para el resto de $\mathbb{R}$ donde aún no se ha definido de tal manera que es bijective.
Con $x_\alpha$ se define en términos de esta $T$, F será continua en $(0,1)$. De hecho, será idénticamente igual a$f(x)=x+2$$(0,1)$.
