Singularidad en el infinito de una función entera

Question

Cómo demostrar que toda función entera no constante $\,\,f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\,\,$ tiene una singularidad en el infinito?

¿Qué tipo de singularidad debe ser?

Answer 1

Técnicamente, $f$ tiene una singularidad en $\infty$ en virtud de que no se define allí. Lo que realmente se quiere decir es que una función entera no constante $f$ tiene un no extraíble singularidad en $\infty$ y esto se deduce directamente del teorema de Liouville: si la singularidad en $\infty$ era removible, $f$ estaría acotado en una vecindad de $\infty$ , digamos que $\{z: |z| \ge r\}$ y como $f$ también está acotado en $\{z: |z| \le r\}$ (porque una función continua está acotada en un conjunto compacto) $f$ estaría acotado en $\mathbb C$ por lo tanto constante por el teorema de Liouville.

Answer 2

Dada una función $f(z)$ decimos que $f$ tiene una singularidad (de un tipo determinado) en el infinito si y sólo si $f(\frac1z)$ tiene una singularidad (de dicho tipo) en $0$ .

Por el Teorema de Liouville, sabemos que cada acotado toda la función es constante. A la inversa, está claro que toda función constante (con una constante no infinita) es acotada y entera.

Supongamos que $f$ es una función entera no constante, por lo que $$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n,$$ donde el radio de convergencia de esta serie de potencias es infinito, y existe al menos una $n\geq 1$ tal que $a_n\neq0$ .

Desde $$f\left(\frac1z\right)=\sum_{n=0}^\infty\frac{a_n}{z^n}=a_0+\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{z^n},$$ y como $a_n\neq 0$ para algunos $n>0$ entonces $f$ tiene una singularidad en el infinito, es decir, la expansión de Laurent de $f(\frac1z)$ sobre $z=0$ tiene una parte singular no nula. Si sólo hay un número finito de partes no nulas $a_n$ 's, entonces $f$ tiene un polo en el infinito. Por lo demás, $f$ tiene una singularidad esencial en el infinito.

Answer 3

Sólo para dar un ejemplo.

Claramente $f$ no tiene límites cerca de $\infty$ por lo que la singularidad no puede ser removida.

Si $f(z)=az+b$ donde $a\neq 0$ entonces $f$ tiene un polo en $\infty$ .

Si $f(z)=e^z$ entonces $f$ tiene una singularidad esencial en $\infty$ .