¿Es correcta mi prueba de$f(0)=1$ para una función continua específica?

Question

Bien, creo que he encontrado una forma mucho más simple prueba a una pregunta que el que se me brindó, y quería escuchar cómo es inevitablemente incorrecta.

Deje $f$ ser una función continua que siempre puede obtener la derivada de y que siempre es positivo. Además,

$f'(0)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-1}{x}$

demostrar $f(0)=1$

He demostrado como tal:

De acuerdo a la definición de una función continua:

$\lim\limits_{x\rightarrow c}f(x)=f(c)$

Por lo tanto:

$f'(0)=\lim\limits_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-1}{x}=\frac{f(c)-1}{c}\Rightarrow c\cdot f'(0)=f(c)-1$

Deje $c=0:$

$f(0)-1=0\Rightarrow f(0)=1 \blacksquare$

Answer 1

La solución no es correcta. Por definición,

PS

asi que,

PS

pero

PS

No existe si$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}$ y es un número constante.

Entonces, si$$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}-\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-1}{x}=0\to \lim_{x\to 0}\frac{f(0)-1}{x}=0\quad (1)$ es verdadero, debe tener$$\lim_{x\to 0}\frac{c}{x}=c\cdot \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}$.

PD: Su solución no es correcta porque cuando escribe$c\ne 0$ está asumiendo que$(1)$.

Answer 2

Su prueba es incorrecta, porque no puede escribir $$ \ lim_ {x \ to0} \ frac {f (x) -1} {x} = \ frac {f (c) -1} {c} $$ Intuitivamente ,$f(0)=1$ porque de lo contrario, el límite $$ \ lim_ {x \ to0} \ frac {f (x) -1} {x} $$ no puede existir de forma finita.

Más rigurosamente, $$ f (0) = \ lim_ {x \ to0} f (x) = \ lim_ {x \ to0} \ left (1+ \ frac {f (x) -1} {x} x \ right ) = 1+ \ lim_ {x \ to0} \ frac {f (x) -1} {x} \ cdot \ lim_ {x \ to0} x $$ porque los límites en el último término existen finitos.