¿Todos números enteros algebraicos en un $\mathbb{Z}[\zeta_n]$ ocurren entre las tablas de caracteres de grupos finitos?

Question

Los valores de irreductible caracteres de un número finito de grupos siempre son las sumas de las raíces de la unidad; hacer todas las sumas de las raíces de la unidad (es decir, algebraica de números enteros en la máxima abelian extensión de $\mathbb{Q}$) aparecen entre las tablas de caracteres de grupos finitos?

Obviamente raíces de la unidad sí aparecen, como se puede ver a partir de las características de las tablas de grupos cíclicos. Pero luego parece que no hay manera fácil de obtener la suma y el producto de estos números para aparecer en otra tabla de caracteres, como $\oplus$ $\otimes$ no siempre rinden representaciones irreducibles.

Hay sustituto construcciones que permiten mostrar que todos estos números en realidad no aparecen en algún lugar?

Answer 1

La siguiente construcción responde a su pregunta en forma afirmativa. Suponga que $n>1$. Deje $\mu_n=\langle \zeta_n\rangle$ consta de las complejas soluciones de la ecuación de $z^n=1$. Fijar un (gran) integer $M$. Considerar el grupo $G(M,n)$ $M\times M$ matrices que tienen una sola no-cero de entrada de $\mu_n$ en cada fila y columna, es decir, monomio matrices con los no-cero entradas limitadas a venir de $\mu_n$.

Yo afirmación de que la acción natural de la $G(M,n)$ $V=\mathbf{C}^M$ da una representación irreducible. Esto se deduce fácilmente del hecho de que el grupo simétrico $S_M$ es un subgrupo de $G(M,n)$. Sabemos que el único no-trivial $S_M$-subespacios invariantes son el uno se extendió por todas un vector, y su complemento de la suma cero en el subespacio. Ninguno de estos es invariante bajo la acción de todos los de $G(M,n)$, lo $V$ es una irreductible $G(M,n)$ módulo.

Tenemos así como los valores de los caracteres $\chi_V$ $G(M,n)$ todas las cantidades de cualquier $M$ elementos de $\mu_n$ $\chi_V(d)$ para algunos matriz diagonal $d\in G(M,n)$. Su reclamo se sigue de esta variando el parámetro de tipo integer $M$. Hay varias maneras de obtener los números enteros negativos aparecen como coeficientes de las potencias $\zeta_n^j$. Podemos ir a $\mu_{2n}$ o el uso de las relaciones determinadas por el cyclotomic polinomio.

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Añadir una breve descripción de la representación $V$ en el contexto de esta respuesta por Alex B. Si $\chi$ es el carácter de el grupo abelian $A=\mu_n^M$ que los mapas de cualquier elemento a su último componente, a continuación, bajo la acción de $S_M$ en los personajes de la $A$ clara $\text{Stab}_{S_M}(\chi)$ es el punto de estabilizador de el último índice $M$ (es decir, los habituales copia de $S_{M-1}\le S_M$). Por lo tanto, $\chi$ se extiende a un personaje del grupo de $S_\chi=A\rtimes S_{M-1}$. El grupo $S_\chi$ es de índice $M$ en el grupo $G(M,n)=A\rtimes S_M$. La representación $V$ surge entonces, como la inducida por la representación de $\text{Ind}_{G(M,n)/S_\chi}(\chi)$. La irreductibilidad de $V$ (que estaba claro que en nuestro contexto), a continuación, también se sigue de la teoría general. Nota: los detalles de la interpretación de $V$ como una inducción al módulo de depender de la elección de $\chi$.