¿Cómo resolver este pdf condicional?

Question

Tengo una distribución conjunta $$f_{XY}(x,y) = (2\pi\sigma^2)^{-1}\text {exp}\left(-{{x^2+y^2}\over{2\sigma^2}}\right)$$

Necesito calcular $$f_{xy}(x,y|x^2+y^2<b^2)$$

Creo que debería usar el teorema de Bayes para transferirlo y calcular $$f_{xy}(x^2+y^2<b^2|x,y) \ \ \ \ *$$

lo que me confunde es si la función * equivale a $$f_{xy}(x^2+y^2<b^2)$$

Si es válido, entonces $$f_{xy}(x,y|x^2+y^2<b^2)={{f_{xy}(x^2+y^2<b^2|x,y) \cdot f_{xy}(x,y)}\over{f_{xy}(x^2+y^2<b^2)}} = \\ =f_{xy}(x,y)$$

Así que creo que debería estar mal. Entonces, ¿cómo explicar la condición de la función * por favor?

Muchas gracias.

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Tengo la solución:

Me pregunto si $$F_{xy}(x,y|x^2+y^2<b^2) = F_{x}(-\sqrt{b^2-y^2}<x<\sqrt{b^2-y^2} ) + F_{y}(-\sqrt{b^2-x^2} <y<\sqrt{b^2-y^2}) = \\F_{x}(\sqrt{b^2-y^2})-F_{x}(-\sqrt{b^2-y^2})+F_{y}(\sqrt{b^2-x^2})-F_{y}(-\sqrt{b^2-x^2})$$ ¿es correcto?

es fácil de calcular $f_{x}$ y $f_{y}$ , entonces puedo saber $F_{x}$ y $F_{y}$ entonces es fácil calcular $F_{xy}(x,y|x^2+y^2<b^2)$ como el anterior. Finalmente lo que tengo que hacer es diferenciarlo.

Pero no sé si es válido.

Answer 1

Está restringiendo la distribución normal bivariada no correlacionada a la disco de radio $b$ sobre el origen. La "forma" de la distribución sigue siendo la misma, pero hay que dividir la función de densidad conjunta por $P(X^2 + Y^2 < b^2),$ que es menor que 1, para "potenciar" la nueva función de densidad de la articulación de modo que contenga el volumen $1.$

En el siguiente gráfico, 100.000 simulaciones $(X,Y)$ -pares siguen el incondicional normal bivariante con $\sigma = 1.$ La distribución condicional en el disco de radio $b = 1.5$ incluye los puntos negros, pero no los rojos. Porque $X^2 + Y^2 \sim Chisq(df=2),$ tenemos $P(X^2 + Y^2 < 1.5^2) = 0.6753.$

x = rnorm(10^5); y = rnorm(10^5)
cond = (x^2 + y^2 < 1.5^2)
plot(x, y, pch=".", col="red")
points(x[cond], y[cond], pch=".")
mean(cond)        # simulated aprx probability above disk
## 0.67408
pchisq(1.5^2, 2)
## 0.6753475      # exact probability above disk