Integral (función raíz cuadrada multiplicada por función exponencial) ¿lo he hecho bien?

Question

Estoy tratando de determinar $\int x^3\sqrt{x^2 +1}\, dx$

He dicho que $u(x) = x^2 + 1$

y luego que $dx = 2x\,dx$ así que reescribí la integral como

$$\int x^3\sqrt{x^2 +1}\,2x\,dx$$

que también es

$$\int2x^4\sqrt{x^2 +1} \,dx$$

y luego es fácil de integrar, ¿es todo legal de hacer?

Answer 1

Me temo que no. Usted no debe tener una ecuación con un "factor diferencial" en un lado y no en el otro (es decir, $dx=2x$ es una tontería). Para saber más sobre cómo tratar los factores diferenciales, puede encontrar la segunda parte de esta respuesta (desde "Ahora, si escribiera..." hasta "...volvamos a tu problema") útil.

Lo que puede decir es que $$\frac{du}{dx}=2x,$$ para que $$du=2x\,dx,$$ para que $$x\,dx=\frac12\,du.$$ Entonces su sustitución le da $$\int x^3\sqrt{x^2+1}\,dx=\frac12\int x^2\sqrt{u}\,du.$$ Sin embargo, aún no hemos llegado a ese punto. ¿Puede reescribir $x^2$ en términos de $u$ ?

Answer 2

\begin {align} & \int x^{3}\, \sqrt {x^{2} + 1\,}\,{ \rm d}x = \int x^{2}\,{ \rm d} \left [{1 \over 3}\, \left (x^{2} + 1 \right )^{3/2} \right ] \\ [3mm]&= x^{2}\,{1 \over 3} \left (x^{2} + 1 \right )^{3/2} - \int {1 \over 3} \left (x^{2} + 1 \right )^{3/2} \,{ \rm d} \left (x^{2} + 1 \right ) \\ [3mm]&= {1 \over 3}\,x^{2} \left (x^{2} + 1 \right )^{3/2} - {1 \over 3}\,{ \left (x^{2} + 1 \right )^{5/2} \over 5/2} = \left (x^{2} + 1 \right )^{3/2} \left [% {1 \over 3}\,x^{2} - {2 \over 15} \left (x^{2} + 1 \right ) \right ] \\ [3mm]&= \left (x^{2} + 1 \right )^{3/2}\,{3x^{2} - 2 \over 15} \end {align}

$$ \begin{array}{|c|}\hline\\ \color{#ff0000}{\large\quad% \int x^{3}\,\sqrt{x^{2} + 1\,}\,{\rm d}x \color{#000000}{\ =\ } {1 \over 15}\left(3x^{2} - 2\right)\left(x^{2} + 1\right)^{3/2}\ +\ \color{#000000}{\mbox{constant}} \quad} \\ \\ \hline \end{array} $$

Answer 3

SUGERENCIA: al completar un $u$ sustitución, el flujo típico es el siguiente:

$$\int x^3\sqrt{x^2+1}dx$$

Sustituir $u=x^2+1$ entonces $du=2xdx$ y tenemos $x^2=u-1$ :

$$\int {(u-1)\sqrt u du\over 2}$$

A partir de ahí, los pasos restantes consisten en integrar y luego invertir la sustitución para obtener la función relativa a $x$ y añadir la constante desconocida.

Answer 4

Su sustitución debe completarse dejando $$\frac12\int (u-1) \sqrt{u}du$$

Utilizando la integración por partes, esto se puede resolver.