¿Cuántos equipos se pueden formar con 11 personas?

Question

La pregunta es la siguiente:

Existen cinco plazas en un equipo. $11$ total de personas. $6$ vienen del distrito A, $4$ del distrito B y $1$ del distrito C.

¿Cuántos grupos de cinco diferentes hay? ¿Cuántos grupos diferentes de cinco hay si cada equipo debe contener al menos una persona de cada distrito?

La pregunta 1 es fácil, es simplemente $\binom{11}5$ Pero no sé cómo hacer la segunda pregunta.

Gracias

Answer 1

El jugador de C debe estar siempre en el equipo. Tenemos $\binom{10}{4}$ posibilidades de elegir el resto de los jugadores. Hay $\binom{6}{4}$ de ellos que no contenga un jugador de B y $\binom{4}{4}$ que no contenga un jugador de A. Así que el resultado es $\binom{10}{4} - \binom{6}{4} - \binom{4}{4}.$

Answer 2

Sumando lo siguiente:

• El número de grupos con $3A+1B+1C$ que es $\binom63\cdot\binom41\cdot\binom11=80$
• El número de grupos con $2A+2B+1C$ que es $\binom62\cdot\binom42\cdot\binom11=90$
• El número de grupos con $1A+3B+1C$ que es $\binom61\cdot\binom43\cdot\binom11=24$

Le dará $80+90+24=194$ de estos grupos.