Encontrar la derivada de$|x|^4$ usando la regla de la cadena.

Question

Se me presenta la siguiente tarea:

Se puede utilizar la regla de la cadena para encontrar los derivados de la $|x|^4$$|x^4|$$x = 0$? Hacer los derivados que existen en $x = 0$? He resuelto la tarea en un lugar recto camino, pero estoy preocupado de que hay más a la tarea:

Primero de todos, tanto de funciones de una variable a la potencia de un número par, por lo tanto, dado que el $x$ es un número real, tenemos que $|x^4| = |x|^4$. Con el fin de forzar el uso práctico de la regla de la cadena, podemos escribir la $|x|^4 = \sqrt{x^2}^4$. Estamos utilizando el hecho de que la toma de un número a la potencia de un número, y utilizando el valor absoluto, y nos da números positivos exclusivamente. Si se elige la cadena de $u = x^2$, lo $g(u) = \sqrt{u}^4$, $u' = 2x$ og $g'(u) = (u^2)' = 2u$. Entonces tenemos que la derivada de la función, que por razones prácticas el nombre de $f(x)$$f'(x) = 2x^2 * 2x = 4x^3$. Vemos que el poder general regla se aplica aquí, viendo como trabajamos con una variable a la potencia de un número. La derivada en el punto de $x = 0$$4 * 0^3 = \underline{\underline{0}}$. Por lo tanto podemos concluir que la derivada existe en $x = 0$.

Es bastante lógico? Estoy teniendo un tiempo difícil ver que hay algo más a esta tarea, pero se siente como que fue un poco demasiado sencillo.

Answer 1

$$ {{\rm d}\left\vert x\right\vert^{4} \over {\rm d}x} = 4\left\vert x\right\vert^{3}\,{{\rm d}\left\vert x\right\vert \over {\rm d}x} = 4\left\vert x\right\vert^{3}\,{\rm sgn}\left(x\right) = 4\left\vert x\right\vert^{2} \left\lbrack\vphantom{\Large A}% \left\vert x\right\vert\,{\rm sgn}\left(x\right) \right\rbrack = 4x^{2}\left\lbrack\vphantom{\Large A}x\right\rbrack = 4x^{3} $$ Solemos definir $\quad{\rm sgn}:{\mathbb R} - \left\lbrace 0\right\rbrace \to {\mathbb R}$ tal que $$ {\rm sgn}\left(x\right) = \left\lbrace% \begin{array}{rl} -1\,,\qquad & x < 0 \\[1mm] 1\,,\qquad & x > 0 \end{array}\right. $$ Sin embargo, a menudo vemos que los cálculos donde se supone "${\rm sgn}\left(0\right) = 0$" para fines prácticos. La forma correcta es realizar el cálculo de $x \not= 0$ y considerar el caso de $x = 0$ como independiente. Podría ser ( en particular de los casos ) que el "resultado $x = 0$" coincide con el "resultado $\not= 0$" en el límite de $x \to 0^{\pm}$.

La definición anterior y "muy cuidado" son útiles en la práctica de los cálculos'. Por ejemplo, vamos a resolver ${\rm y}'\left(x\right) = 2\left\vert x\right\vert$ con ${\rm y}\left(-1\right) = -1$:

\begin{align} {\rm y}\left(x\right) - {\rm y}\left(-1\right) &= {\rm y}\left(x\right) + 1 = 2\int_{-1}^{x}{\rm sgn}\left(x'\right)x'\,{\rm d}x' = \left. \vphantom{\Huge A}x'^{2}{\rm sgn}\left(x'\right) \right\vert_{-1}^{x} - \int_{-1}^{x}x'^{2} \left\lbrack 2\delta\left(x'\right)\right\rbrack\,{\rm d}x' \\[3mm]&= x^{2}\,{\rm sgn}\left(x\right) + 1 \quad\Longrightarrow\quad {\rm y}\left(x\right) = x\,\left\vert x\right\vert\,,\quad x \not= 0 \end{align} Hemos resuelto la ecuación diferencial sin dividir el problema en dos casos ( $x < 0$ $x > 0$ ). Desde ${\rm y}\left(0^{\pm}\right) = 0\left\vert 0\right\vert$, podemos adoptar como solución a ${\rm y}\left(x\right) = x\,\left\vert x\right\vert,\ {\large\forall\ x}$.

Si usted está en el área de la Física, usted encontrará muchas situaciones como la que usted dirige.

Answer 2

Se puede aplicar la regla de la cadena a $(x^{2})^{2}$, que pasa a ser igual a $|x^{4}|=|x|^{4}$, ya que es la composición de dos funciones diferenciables en $0$ (i.e tome $f(x)=x^{2}$ esto es $f\circ f$). En realidad se podría proceder más rápido ya que $|x^{4}|=|x|^{4}=x^{4}$, por lo que no necesitamos regla de la cadena. Lo que usted está utilizando es que $f(x)=|x^{4}|=|x|^{4}$ está de acuerdo en todas partes, con una función que es diferenciable en todas partes y por lo tanto es diferenciable en todas partes de sí mismo. Usted puede comprobar esto mediante la diferencia de cocientes.

Deje $f$ ser una función que acepta a todas partes con una función de $g$ cuya derivada en $x_{0}$ existe.. Entonces es $f$ es diferenciable en a $x_{0}$ $f'(x_{0})=g'(x_{0})$

$\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\lim_{h\to0}\frac{g(x_{0}+h)-g(x_{0})}{h}=g'(x_{0})$. Por lo $f'(x_{0})$ existe y es igual a $g'(x_{0})$.

Answer 3

Vale la pena señalar que$|x^4|$ y$|x|^4$ igual$x^4$, pero no importa. Asumiré que cualquier simplificación como esa está fuera de los límites.

Una forma de expresar el derivado de$|x|$ es$\frac{|x|}{x}$. Entonces, si aplicamos la regla de la cadena a$|x^4|$ tenemos$\frac{|x^4|}{x^4}\cdot4x^3$, que no está definido en$0$. Sin embargo, esta expresión se define en una vecindad de$0$, y su límite existe, porque$\frac{|x^4|}{x^4}$ está acotado y$4x^3$ se aproxima a$0$.

Algo similar podría hacerse con$|x|^4$.