$f$ es mensurable si y solo si para cada conjunto de Borel A,$f^{-1}(A)$ es mensurable.

Question

Deje $f$ ser definidas en un conjunto medible $E$. Mostrar que $f$ es medible si y sólo si para cada conjunto de Borel $A$, $f^{-1}(A)$ es medible.
Sugerencia: La colección de conjuntos de $A$ que tienen la propiedad de que $f^{-1}(A)$ medible es un $\sigma$-álgebra.

Quiero saber si la siguiente prueba es correcta:

$\mathcal{A}$ es de la colección en cuestión, $\mathcal{B}$ es el conjunto de los conjuntos de Borel, y $\mathcal{M}$ es el conjunto de conjuntos medibles.

• Deje $c \in \mathbb{R}$ elegido de forma arbitraria. A continuación, $(c, \infty)$ es abierta por lo que es en $\mathcal{B}$$f^{-1}((c,\infty)) \in \mathcal{M}$.
• También desde $f^{-1}(\{\infty\}) \in \mathcal{M}$$\{\infty\} \in \mathcal{A}$.
• Por tanto lo de arriba esta muestra que $(c, \infty] \in \mathcal{A}$.
• Deje $a,b \in \mathbb{R}$. Desde $f$ es medible $f^{-1}([-\infty,b))$ $f^{-1}((a,\infty])$ están en $\mathcal{M}$, por lo que $[-\infty,b)$, $(a,\infty]$ ambos están en $\mathcal{A}$$f^{-1}([-\infty,b)) \cap f^{-1}((a,\infty])=f^{-1}((a,b)) \in \mathcal{M}$. Por lo $(a,b)\in A$. Esto demuestra que todos los intervalos abiertos son en $\mathcal{A}$.
• Para $A \in \mathcal{B}$, $f^{-1}(A) \in \mathcal{M}$ por lo $A \in \mathcal{A}$.
• $f^{-1}(\emptyset) \in \mathcal{M}$, lo $\emptyset \in \mathcal{A}$.

Me he metido $\LaTeX$ fatiga, pero creo que todo lo que queda por demostrar es que los contables de los sindicatos y los complementos son en $\mathcal{A}$ para completar la definición de $\sigma$-álgebra.

Answer 1

Para su prueba, no estoy muy seguro de haber entendido a dónde vas con tu lista de viñetas.

En principio parece que están asumiendo $f$ es medible, y tratando de demostrar que $f^{-1}(B)$ es medible para cualquier conjunto de Borel $B$, pero la segunda a la última viñeta afirma que $f^{-1}(B)$ es medible para cualquier conjunto de borel $B$, que a su vez hace que parezca que usted está asumiendo este y tratando de demostrar su capacidad de medición. (Pero si usted está asumiendo esto, entonces todos los otros puntos de las viñetas son triviales). Sea lo que sea que estás tratando de hacer que usted debe dejar claro al comienzo de la prueba.

Si el primero es el caso (que creo que probablemente lo es) lo que quiero hacer es mostrar que los conjuntos de la forma a $\sigma$-álgebra que contiene los bloques abiertos, ya que esta es la razón por la que podemos decir que $f^{-1}(B)$ es medible para cada conjunto de Borel.

He aquí una muestra de prueba de destacar lo que he dicho más arriba, ya se dijo en los comentarios que usted quiere una respuesta explícita.

($\Leftarrow $) si $f^{-1}(A)$ es medible para cada conjunto de Borel, a continuación, en particular, $f^{-1}(A)$ es medible para cada conjunto abierto, por lo $f$ es medible.

($\Rightarrow$) si $f$ es medible, entonces sabemos que $f^{-1}(A)$ es medible para cada conjunto abierto.

Por otra parte, Vamos a $\mathcal{A}$ ser la colección de conjuntos de $A$ satisfacción $f^{-1}(A)$ es medible. En particular, sabemos que $\mathcal{A}$ contiene todos los bloques abiertos por arriba. A continuación, vamos a $A_1, A_2, \cdots \in \mathcal{A}$

A continuación, $f^{-1}(\bigcup_1^{\infty} A_n) = \bigcup_1^{\infty} f^{-1}(A_n)$ es medible, ya que es el contable de la unión de conjuntos medibles, por lo $\bigcup_1^{\infty} A_n \in \mathcal{A}$. Del mismo modo, $f^{-1}(A_1^{c}) = f^{-1}(A_1)^c$ es medible, ya que es el complemento de un conjunto medible, por lo $A_1^{c} \in\mathcal{A}$. Por lo tanto $\mathcal{A}$ $\sigma$- álgebra, que contienen los bloques abiertos, por lo $\mathcal{A}$ contiene todos los conjuntos de borel y hemos terminado.