Ecuación irracional

Question

Resolver sobre los números reales: $$(x^2+x+1)^{1/3}+(2x+1)^{1/2}=2$$

Sé que para el segundo radical al definirse $x≥-0,5$ y he intentado varios métodos he resuelto otras ecuaciones, pero fue en vano; si yo podría escribir $x^2+x-7$ en términos de $2x+1$ el uso de una notación conveniente en $x^2+x-7-6(2x+1)+12(2x+1)^{1/2}+(2x+1)(2x+1)^{1/2}=0$

Creo que podría resolverlo. He ejecutado a través de Wolfram y la única solución real es de $0$ sin embargo ¿cómo se llegó a la conclusión que no soy consciente.

Answer 1

Si ponemos $$a =(x^2+x+1)^{1/3}\;\;\;{\rm and}\;\;\;b= (2x+1)^{1/2}$$

Por lo $$a^3= x^2+x+1 \;\;\;{\rm and}\;\;\;b^2= 2x+1\;\;\;{\rm and}\;\;\; a+b=2$$

y por lo tanto $$4a^3 = 4x^2+4x+4 = (2x+1)^2+3 = b^4+3$$

y, finalmente, $$ 4(2-b)^3 = b^4+3$$ ...

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$$ b^4+4b^3-24b^2+48b-29=0$$

$$ (b-1)(b^3+ \underbrace{ 5b^2-19b+29}_{f(b)})=0$$

Ya que la discriminación de $f$ es negativo $f$ es siempre positivo. Ahora $b\geq 0$ lo $b^3+f(b)>0$ e lo $b=1$ es la única solución, es decir, $x=0$.

Answer 2

Deje $f(x)=\sqrt[3]{x^2+x+1}+\sqrt{2x+1}$ , luego $$f'(x)=\frac{2x+1}{3\sqrt[3]{(x^2+x+1)^2}}+\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$$ If there is no solution to $ f '(x) = 0$ then $ f (x) = 2$ has atmost one solution. $$f'(x)=0\\\frac{(2x+1)\sqrt{2x+1}}{3\sqrt[3]{(x^2+x+1)^2}}=-1$ $

Esta última ecuación es imposible, ya que el lado izquierdo siempre es no negativo. Así que solo hay una solución para $f(x)=2$ , que has encontrado.

Answer 3

$f(x) = ((x+\frac 12)^2 + \frac 34)^\frac 13 + (2(x+\frac 12))^\frac 12$

El segundo término solo se define si $x\ge - \frac 12$

Ambos términos aumentan estrictamente si $x>\frac 12$

Sólo hay una solución.

Y por inspección si $x = 0$

$f(0) = 1^\frac 13 + 1^\frac 12 = 2$