He estado estudiando la función digamma y últimamente veo a menudo se define como el siguiente:
$$ \psi(x) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)} $$ o
$$ \psi(x) = \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{xt}}{1-e^{-t}} dt $$
He visto esta muestra, pero rara vez se justifica cómo estas expresiones son las mismas. Tal vez no tengo las herramientas necesarias para reconocer, pero no es inmediatamente obvio para mí. Me gustaría una prueba establecidos. Mostrando por qué son equivalentes.
Entiendo que la identidad de $\psi(x) = -\gamma+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+x} $ proviene de la diferenciación $\ln(\Gamma(x))$ y el uso de la Weierstrass fórmula del producto para$\Gamma$, como se explica en este post aquí (por aquellos que, como yo aprendizaje desde la parte inferior hasta que he encontrado este PDF que explica la fórmula del producto; también se $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante). También acepto $\Gamma'(1)=-\gamma$ (algunas buenas pruebas en este post).
Ahora he intentado primero en dividir la integral en dos:
$$ \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{xt}}{1-e^{-t}} dt = \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-t}}{1-e^{-t}} dt +\int_0^\infty \frac{e^{-t}}{1-e^{-t}} - \frac{e^{xt}}{1-e^{-t}} dt $$
Para $0<t<\infty$ $0<e^{-t}<1$ por lo tanto se deduce que
$$ \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{1-e^{-t}} - \frac{e^{xt}}{1-e^{-t}} dt=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^\infty e^{-(n+1)t}-e^{-(n+x)t}dt = $$
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+x} $$
Ahora claramente última integral debería ser $-\gamma$ y hemos terminado. Sin embargo no puedo satisfactoriamente hacer esto. Sospecho que es porque no estoy siendo lo suficientemente riguroso en algún lugar o he estado pensando mucho y no se puede ver un error evidente. Para empezar, me separé de la integral en dos y use integración por partes $u=e^{-t}$$dv=\frac{1}{t}dt$.
$$ \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-t}}{1-e^{-t}} dt = \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{t} dt - \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{1-e^{-t}} dt = $$
$$ \ln(t)e^{-t}|_{0}^\infty+\int_0^\infty \ln(t)e^{-t}dt-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}=\lim_{un\to0}-\ln(a)-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}+\Gamma'(1) $$
Aquí tuve dos pensamientos a) el límite va a $\infty$ y la serie armónica hace lo mismo así que podemos decir que se anulan mutuamente. Esto es demasiado mano que se agita para mi gusto, pero b) era que $\lim_{a\to0}-\ln(a)=\lim_{a\to0}\ln(\frac{1}{a})=\lim_{n\to\infty}\ln(n)$ y por lo tanto tenemos
$$ \lim_{un\to0}\ln(a) - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty}\ln(n) - \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \equiv -\gamma $$
$$ \, por tanto \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-t}}{1-e^{-t}} dt = -2\gamma $$
Este segundo enfoque parece menos dudoso para mí, pero está mal.
Podría alguien a punto de salir de mi error en este método, o dar una alternativa a prueba el uso de Calc II técnicas? Por favor, justificar cualquier identidades para $\Gamma$, $\psi$, o $\gamma$ no utiliza aquí o proporcionar un enlace a una fuente que hace.
